Временная сложность алгоритма Беллмана-Хелда-Карпа для ТСП, дубль 2

16

В недавнем вопросе обсуждался теперь классический алгоритм динамического программирования для TSP, независимо от Беллмана и Хельда-Карпа . Алгоритм повсеместно сообщается работать в $O(2^n n^2)$ времени. Однако, как недавно заметил один из моих учеников, это время выполнения может потребовать неоправданно мощной модели вычислений.

Вот краткое описание алгоритма. Вход состоит из ориентированного графа $G=(V,E)$ с $n$ вершинами и неотрицательной функцией длины $\ell\colon E\to\mathbb{R}^+$ . Для любых вершин $s$ и $t$ и любого подмножества $X$ вершин, исключающих $s$ и $t$ , пусть $L(s,X,t)$ обозначает длину кратчайшего гамильтонова пути от $s$ до $t$ в индуцированном подграфе . Алгоритм Беллмана-Хелда-Карпа основан на следующем повторении (или, как любят его называть экономисты и теоретики управления, «уравнение Беллмана»): $G[X\cup\{s,t\}]$

L (s, X, t) = {\begin{cases} ℓ (s, t) & if X = \emptyset_{} \\ min_{v \in X} (L (s, X ∖ {v}, v) + ℓ (v, t)) & otherwise \end{cases}

$L(s,X,t) = \begin{cases} \ell(s,t) & \text{if $X = \varnothing_{\strut} $} \\ \min_{v\in X}~ \big(L(s, X\setminus\lbrace v\rbrace, v) + \ell(v,t)\big) & \text{otherwise} \end{cases}$

Для любой вершины длина оптимального тура коммивояжера составляет . Поскольку первый параметр является постоянным во всех рекурсивных вызовах, существует различных подзадач, и каждая подзадача зависит не более чем от других. Таким образом, алгоритм динамического программирования выполняется за времени. $s$ $L(s,V\setminus\{s\}, s)$ $s$ $\Theta(2^n n)$ $n$ $O(2^n n^2)$

Или это ?!

Стандартная целочисленная модель ОЗУ допускает манипулирование целыми числами с битами в постоянное время, но по крайней мере для арифметических и логических операций большие целые числа должны быть разбиты на куски размером в слово. (В противном случае могут происходить странные вещи .) Разве это также не относится к доступу к более длинным адресам памяти? Если алгоритм использует суперполиномиальное пространство, разумно ли предполагать, что доступ к памяти требует только постоянного времени? $O(\log n)$

В частности, для алгоритма Беллмана-Хелда-Карпа алгоритм должен преобразовать описание подмножества в описание подмножества для каждого , чтобы получить доступ к таблице памятки. Если подмножества представлены целыми числами, эти целые числа требуют битов и поэтому не могут управляться в постоянное время; если они не представлены целыми числами, их представление нельзя использовать непосредственно в качестве индекса в таблице памятки. $X$ $X\setminus\{v\}$ $v$ $n$

Итак: Каково фактическое время асимптотики алгоритма Беллмана-Хелда-Карпа?

ds.algorithms machine-models computing-over-reals

— Jeffε
источник

Ваша ссылка "странные вещи" не работает.

— Тайсон Уильямс

Я исправил ссылку.

— Джефф

12

Это менее математический ответ, чем философский, но я предпочитаю думать о модели ОЗУ, которая позволяет манипулировать целыми числами в постоянном времени с некоторым количеством битов B, которое неизвестно, но по крайней мере так же велико, как , где S это количество места, которое требует алгоритм. Потому что, если целые числа не были такими большими, как ты вообще мог бы обращаться к своей памяти? Для полиномиальных алгоритмов времени и пространства это то же самое, что и биты O (log n), но для алгоритмов экспоненциального пространства это позволяет избежать проблемы. $\log_2 S$

Конечно, если S превышает объем памяти, который у вас есть, ваш алгоритм не будет работать вообще. Либо он будет выполняться путем подкачки информации в память и из нее, и вам следует использовать модель иерархии памяти вместо модели ОЗУ.

— Дэвид Эппштейн
источник

Я привык к мысли, что модель машины должна зависеть от размера ввода

, но есть кое-что странное в том, чтобы позволить модели машины зависеть от алгоритма. Вы действительно хотите, чтобы ваша машина решала любую проблему в PSPACE в постоянном времени, если вы уже используете экспоненциальное пространство?

n

$n$

— Джефф

3

Для меня это не вопрос изменения модели в зависимости от алгоритма, а вопрос наличия модели, которая является фиксированной, но не способной выполнять все алгоритмы (поскольку в ней не хватает места). Для меня это не так уж и отличается от настоящих компьютеров.

— Дэвид Эппштейн

1

Я не убежден ответом Дэвида. Здесь есть два вопроса. Один теоретический, другой практический. В теоретическом плане более естественно быть точным относительно модели и соответствующим образом анализировать время работы. В практических условиях нелегко узнать, будет ли на самом деле нехватка памяти в каком-либо конкретном случае из-за различных оптимизаций, которые можно выполнить (и выполнить частичное запоминание и т. Д.), Однако при реализации алгоритма нам придется иметь дело с как мы храним наборы и индексируем их. Вышеуказанная модель не помогает в этом отношении.

— Чандра Чекури

8

Эта проблема обсуждается в недавней книге Федора В. Фомина и Дитера Крача « Точные экспоненциальные алгоритмы », где они задают время работы в модели ОЗУ с единичной стоимостью и моделью ОЗУ с логарифмической стоимостью ( - максимальное расстояние между городами и если ): $W$ $f(n)=\mathcal{O}^{\ast}(g(n))$ $f(n)=\mathcal{O}(g(n)poly(n))$

$\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$ $2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}$ $2^n\log Wn^{\mathcal{O}(1)}\notin\mathcal{O}^{\ast}(2^n)$

— Александр бондаренко
источник

1

Таким образом, они уклоняются от вопроса, скрывая полиномиальный фактор. Я хочу знать, что такое полиномиальный фактор!

— Джеффс

3

Они предполагают, что полиномиальный фактор

n^{2}

$n^2$ (см. ссылку в моем комментарии).

— Александр Бондаренко