Когда я посмотрел « Динамический программный подход к решению задач секвенирования » Майкла Хелда и Ричарда М. Карпа, у меня возник следующий вопрос: почему сложность их алгоритма для TSP равна $(\sum_{k=2}^{n-1}k(k-1)\binom{n-1}{k})+(n-1)$ (стр. 199), я имею в виду, где они берут фактор $k$ ? Если я правильно понял, $k-1$ означает количество дополнений для каждого подмножества городов. Тогда почему каждая операция сложения связана с неизвестными мне $k$ операциями? Я предполагаю, что это как-то связано с получением минимума, но для вычисления минимума не требуется такого количества операций.

Алгоритм динамического программирования Хелда и Карпа и независимо от него Беллмана работает следующим образом: для каждой пары $(S,c_i)$ , означающей путь, проходящий через $c_1$ , все элементы $S$ и заканчивающиеся в $c_i$ вычисляются

$OPT[S,c_i]=min\{OPT[S\setminus\{c_i\},c_j]+d(c_j,c_i):c_j\in S\setminus\{c_i\}\},$

где $d(c_j,c_i)$ означает расстояние между городами $c_j$ и $c_i$ . Тогда в формуле из бумаги $k$ означает размер $S$ .

Приложение к настоящему документу, разъясняющее термины $k(k-1)$ :

Итак, если вы изучите термины в выражении, вы можете представить (как аналогию), что термин является перечислением всех двоичных строк, содержащих 1, которые имеют 1 в первой позиции. Другими словами, мы позволяем каждой позиции в двоичной строке представлять выбор того, находится ли данный один из городов в задаче в точном подмножестве, которое мы рассматриваем в то время. Так, для 5 городов 10101 соответствует подмножеству {1,3,5}.$n-1 \choose k$$k$$n$

Таким образом, чтобы вычислить все подмножества {1, ..., }, мы просто считаем по каждому двоичному подмножеству (т.е. считаем по двоичным строкам) размера = 2 (т.е. двоичные строки размером которые содержат две единицы), затем размер = 3, затем размер = 4, ... затем размер = n. (Обратите внимание, что подмножество size = 1 должно содержать только первый город, и поэтому вычислять его частичное расстояние не имеет значения, поскольку расстояние от 1 -> всех других городов в подмножестве -> 1 равно 0.)$n$$n$

В каждом подмножестве с городами мы должны рассмотреть до оптимальных для кандидатов частичных путей. В частности, оптимальный, общий путь мог бы, вероятно, пройти через данное подмножество и в конечном итоге оказаться в любом из городов, кроме первого города. Затем для каждого такого подходящего подпути мы вычисляем оптимальный маршрут до этой точки как минимум любого из предыдущих подпутей size = плюс расстояние от конечного города для этого подпути до конечный город для текущего пути-кандидата. Это дает такие сравнения, которые мы должны сделать. Расхождение между моим членом и$k$$k-1$$k-1$$k-1$$(k-1)(k-2)$$(k-1)(k-2)$$k(k-1)$термин в связанном анализе представляет собой нотационную разницу (я бы суммировал в другом диапазоне, учитывая мое определение чем они сделали). Однако, по крайней мере, он должен иллюстрировать сложность квадратичного порядка этого термина.$k$

---

Как интересно - я только что закончил кодировать этот точный алгоритм на C ++ несколько минут назад. (Так что простите касательную из чистой теории в небольшое практическое обсуждение. :))

Это стоит времени и пространства - по крайней мере, в моей реализации. Тем не менее, с практической точки зрения, когда ваши потребности в пространстве растут так быстро, они становятся более болезненными, чем требования времени. Например, на моем ПК (с 4 ГБ ОЗУ) я могу решать экземпляры с количеством городов до 24 - даже больше, и мне не хватает памяти.$O(2^n n^2)$$O(2^n n)$

Конечно, я мог быть просто плохим программистом, и вы могли бы добиться большего успеха, чем я на практике. :)

Изменить: немного больше деталей по одной детали вашего вопроса: термин происходит от того факта, что в худшем случае вы должны рассчитать частичное, оптимальное расстояние от предыдущих подмножеств (их максимум из них; обратите внимание, что суммируется по в анализе, который вы связали) с текущим. Это требует, опять же в худшем случае, сравнения с подмножествами размера для общего количества .$k(k-1)$$n$$k$$n$$O(k)$$k-1$$O(k^2)$

Кроме того, если мое объяснение не было достаточно ясным, вот несколько хороших конспектов Вазирани ( PDF ). Прокрутите вниз до P. 188 для обсуждения TSP, включая анализ Хельда-Карпа.

Основная нота

Важно отметить, что мы вычисляем и храним не
«расстояние оптимального пути для combination of k cities»,
а
«расстояние оптимального пути для combination of k cities AND для end-point city from this combination».
Понимание этого поможет понять значение первых двух множителей в следующей формуле.

Первая фаза

Число операций на первом этапе:

$$\displaystyle \sum_{k>=2} \underbrace{ \binom{n-1}{k-1} }_{\substack{ \text{choose city combination} \\ \text{of size = $k-1$}}} \cdot \underbrace{ (k-1) }_{\substack{ \text{choose city to be the last} \\ \text{from $k-1$ cities} \\ \text{in chosen combination} } } \cdot \underbrace{ ((n-1)-(k-1)) }_{ \substack{ \text{choose city} \\ \text{that is not in chosen combination} \\ \text{to add to path} } }$$

Отсутствующий верхний индекс в сумме означает for all k>=2 that is valid for binomial coefficient. Таким образом, последний действительный ненулевой член суммы будет для Это означает, что наша сумма не захватывает последние выборы города, чтобы соединиться с первым городом. Есть городов для подключения к первому городу. Итак, наконец, мы добавим этот термин к сумме.$k=n-1$

$$\binom{n-1}{n-2} \cdot (n-2) \cdot 1$$ $n-1$

Позвольте преобразовать формулу в форму, которую вы предоставляете, которая также находится на странице Википедии Held-Karp .

$$\displaystyle \sum_{k>=2} \binom{n-1}{k-1} \cdot (k-1) \cdot ((n-1)-(k-1))= \sum_{k>=2} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \cdot (k-1) \cdot (n-k)= \sum_{k>=2} \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} \cdot k \cdot (k-1)= \sum_{k>=2} \binom{n-1}{k} \cdot k \cdot (k-1)$$ Управление биномиальными коэффициентами приводит к: Таким образом, количество операций в первом фаза $$\displaystyle \sum_{k>=2} \binom{n-1}{k} \cdot k \cdot (k-1) = \sum_{k>=2} \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!} \cdot k \cdot (k-1) = \sum_{k>=2} \frac{(n-3)!}{(k-2)!(n-3-(k-2))!} \cdot (n-1) \cdot (n-2)= (n-1) \cdot (n-2)\sum_{k>=2} \binom{n-3}{k-2}=(n-1) \cdot (n-2) \cdot 2^{n-3}$$ $(n-1) \cdot (n-2) \cdot 2^{n-3}+(n-1)$

Второй этап

Второй этап - восстановление оптимального пути по меткам, которые мы сделали на первом этапе, одновременно с вычислением расстояний.

Для каждого оптимального пути «для combination of k cities И для end-point city from this combination» мы сохранили второй по последнему слову город.

Чтобы отследить оптимальный путь, нам нужно попросить некоторую структуру данных вернуть второй по величине город «для combination of k cities И для end-point city from this combination». Так что эта структура данных должна быть примерно такой
Map<combination of k cities, Map<last city, second-to-last city>>. В качестве индекса combination of k citiesмы можем использовать, например binary_string[city id]=1 if city id is in combination,. Поэтому нам нужно рассмотреть все элементы, combination of k citiesчтобы идентифицировать комбинацию и индексировать нашу структуру данных. Это дает нам количество операций для второй фазы:

$$\displaystyle \sum_{k>=2}^{n-1} k = \frac{(n)(n-1)}{2} - 1$$