Незначительные закрытые свойства, которые явно выражены в MSO

Ниже MSO обозначает монадическую логику второго порядка графов с определением вершин и ребер.

Пусть - младшее замкнутое семейство графов. Из Робертсона и Сеймура теории графов малой , что F характеризуется конечным списком H 1 , H 2 , . , , , Н К , запрещенных несовершеннолетним. Другими словами, для каждого графа G мы имеем, что G принадлежит F тогда и только тогда, когда G исключает все графы H i как миноры.$\mathcal{F}$$\mathcal{F}$$H_1,H_2,...,H_k$$G$$G$$\mathcal{F}$$G$$H_i$

Как следствие этого факта, мы имеем формулу MSO , которое истинно на графе G тогда и только тогда , когда G ∈ F . Например, планарные графы характеризуются отсутствием графов K 3 , 3 и K 5 как миноров, и поэтому легко написать явно формулу MSO, характеризующую планарные графы.$\varphi_{\mathcal{F}}$$G$$G\in \mathcal{F}$$K_{3,3}$$K_5$

Проблема в том, что для многих хороших второстепенных свойств закрытого графа список запрещенных миноров неизвестен. Итак, хотя мы знаем, что существует формула MSO, характеризующая это семейство графов, мы можем не знать, что это за формула.

С другой стороны, может случиться так, что можно придумать явную формулу для данного свойства без использования теоремы о второстепенном графе. Мой вопрос связан с этой возможностью.

Вопрос 1: Существует ли второстепенное замкнутое семейство графов , такое, что набор запрещенных миноров неизвестен, но известна некоторая формула MSO φ, характеризующая этот набор графов?$\mathcal{F}$$\varphi$

Вопрос 2: Известно ли, что некоторая явная формула MSO характеризует некоторые из следующих свойств?$\varphi$

1. Род 1 (график встраивается в тору) (см. РЕДАКТИРОВАТЬ ниже)
2. Род k для некоторого фиксированного (см. РЕДАКТИРОВАТЬ ниже)$k>1$
3. k-внешняя планарность для некоторого фиксированного $k> 1$

Буду признателен за любые ссылки или мысли по этому вопросу. Пожалуйста, не стесняйтесь рассматривать другие мелкие закрытые свойства, приведенный выше список является только иллюстративным.

Obs: Под явным я не подразумеваю обязательно маленький. Достаточно привести явный аргумент или алгоритм, показывающий, как построить формулу, характеризующую данное свойство. Точно так же в контексте этого вопроса я считаю, что известно семейство запрещенных несовершеннолетних, если кто-то дал явный алгоритм построения этого семейства.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я нашел статью Адлера, Кройцера, Гроэ, которая строит формулу, характеризующую графы рода на основе формулы, характеризующей графы рода k-1. Таким образом, эта статья отвечает на первые два пункта Вопроса 2. С другой стороны, это не отвечает на Вопрос 1, потому что действительно существует алгоритм, который строит для каждого k семейство запрещенных миноров, характеризующих графы рода k (см. Раздел 4.2). Поэтому эта семья «известна» в смысле вопроса.$k$

У меня был ответ, включающий графы вершин, но он не соответствует определению отсутствия явного набора препятствий, приведенному в этом вопросе: существует опубликованный алгоритм поиска набора препятствий, хотя он слишком медленный для запуска, поэтому мы на самом деле не знаем что такое набор препятствий.

$F$$k\ge 1$$G$$k$$F$$G$

$k$$G$$F$$_2$

• $G$
• $(i,j)$$0\le i,j<k$$G$$i$$j$
• $G$
• $F$