Сложность монотонной арифметической схемы элементарных симметрических полиномов?

В $k$ -й элементарный симметричный полином $S_k^n(x_1,\ldots,x_n)$ является суммой всех продуктов различных переменных. Меня интересует сложность монотонной арифметической схемы этого многочлена. Простой алгоритм динамического программирования (как и рис. 1 ниже) дает схему с воротами .$\binom{n}{k}$$k$$(+,\times)$$(+,\times)$$O(kn)$

Вопрос: Известна ли нижняя граница ? $\Omega(kn)$

цепи перекос , если по крайней мере один из двух входов каждого затвора продукта является переменной. Такая схема на самом деле такая же, как сеть с коммутацией и выпрямлением (ориентированный ациклический граф с некоторыми ребрами, помеченными переменными; каждый st-путь дает произведение своих меток, а результат представляет собой сумму по всем st-путям). Уже 40 лет назад Марков доказал удивительно жесткий результат: минимальная монотонная арифметическая схема для имеет ровно . Верхняя оценка следует из фиг.1.: $(+,\times)$$S_k^n$ $k(n-k+1)$

Но я не видел ни одной попытки доказать такую ​​нижнюю оценку для нескошенных цепей. Это только наше «высокомерие», или есть какие-то присущие трудности, встречающиеся на этом пути?

PS Я знаю, что ворота необходимы для одновременного вычисления всех . Это следует из нижней границы размера монотонных логических схем, сортирующих вход 0-1; см. стр. 158 книги Инго Вегенера . АКС сортировка сети также подразумевает , что ворота достаточно в этом (логическое) случае. На самом деле Баур и Штрассен доказали тесную связь с размером немонотонной арифметической схемы для . Но как насчет монотонных арифметических схем?S n 1 , … , S n n O ( n log n ) Θ ( n log n ) S n n /$\Omega(n\log n)$$S_1^n,\ldots,S_n^n$$O(n\log n)$$\Theta(n\log n)$$S_{n/2}^n$

Одна из проблем в том , что если убрать «монотонный» ограничение, мы действительно знаем , как эффективно вычислять такие вещи. Вы можете вычислить значение всех (вычислить все n + 1 элементарных симметрических полиномов) за O ( n log 2 n ) времени, используя полиномиальное умножение на основе FFT. Таким образом, доказательство нижней границы Ω ( n k ) в модели монотонной схемы потребует доказательства Ω ( n 2$S_0^n,\dots,S_n^n$$n+1$$O(n \log^2 n)$$\Omega(nk)$$\Omega(n^2)$ нижняя оценка умножения полиномов.

Вот как. Введем формальное неизвестное и рассмотрим полином$y$

Обратите внимание, что поскольку являются известными константами, это одномерный многочлен с неизвестным y и степенью n . Теперь вы можете заметить, что коэффициент y k в P ( y ) в точности равен S n k , поэтому для оценки всех S n 0 , … , S n n достаточно вычислить P ( y ) .$x_i$$y$$n$$y^k$$P(y)$$S_k^n$$S_0^n,\dots,S_n^n$$P(y)$

Это позволяет вычислить за O ( n lg 2 n ) времени: построить сбалансированное двоичное дерево многочленов с ( 1 + x i y ) на листьях и умножить многочлены. Умножение двух полиномов степени d занимает время O ( d lg d ) с использованием методов БПФ, поэтому мы получаем повторение T ( n ) = 2 T ( n / 2 ) $P(y)$$O(n \lg^2 n)$$(1+x_i y)$$d$$O(d \lg d)$ , который решает до T ( n ) = O ( n lg 2 n ) . Для удобства я игнорирую поли ( LG LG N ) факторы.$T(n) = 2 T(n/2) + O(n \lg n)$$T(n) = O(n \lg^2 n)$$\text{poly}(\lg \lg n)$

Если вам небезразличен случай, когда очень мало, вы можете вычислить S n 0 , … , S n k за O ( n lg 2 k ) времени, используя аналогичные приемы, имея в виду, что вы заботитесь только о P ( x ) mod y k + 1 (т. е. отбрасывая все члены y k + 1 или более высокие степени y ).$k$$S_0^n,\dots,S_k^n$$O(n \lg^2 k)$$P(x) \bmod y^{k+1}$$y^{k+1}$$y$

Конечно, БПФ использует вычитание, поэтому наивно это не выражается в монотонной схеме. Я не знаю, есть ли какой-то другой способ эффективного умножения полиномов с монотонными арифметическими схемами, но любой эффективный монотонный метод умножения полиномов немедленно приводит к алгоритму для вашей задачи. Таким образом, нижние оценки для вашей задачи требуют / подразумевают более низкие оценки для умножения полиномов.