Противоречие между второй теоремой Гёделя о неполноте и свойством ЦИКа Черч-Россера?

С одной стороны, вторая теорема Гёделя о неполноте гласит, что любая непротиворечивая формальная теория, достаточно сильная для выражения любых основных арифметических утверждений, не может доказать свою непротиворечивость. С другой стороны, свойство Чёрча-Россера формальной (переписывающей) системы говорит нам, что она непротиворечива в том смысле, что не все уравнения выводятся, например, K $\neq$ Я , так как они не имеют одинаковую нормальную форму.

Тогда исчисление индуктивных построений (CIC) четко описывает оба условия. Он достаточно силен, чтобы представлять арифметические суждения (действительно, $\lambda\beta\eta$ -калькулус уже способен кодировать церковные цифры и представлять все примитивные рекурсивные функции). Кроме того, у CIC также есть собственность слияния или Черч-Россер. Но:

не должен ли CIC доказать свою непротиворечивость по теореме о второй неполноте?

Или просто заявляет, что CIC не может доказать свою непротиворечивость внутри системы, и каким-то образом свойство слияния является мета-теоремой? Или, может быть, свойство слияния CIC не гарантирует его согласованность?

Я был бы очень признателен, если бы кто-то смог пролить свет на эти вопросы!

Спасибо!

lo.logic type-theory lambda-calculus

— StudentType
источник

В каком смысле CR подразумевает последовательность? Рассмотрим отношение

x \to y

$x \rightarrow y$ всякий раз, когда

x, y \in X

$x, y \in X$ ,

— Мартин Бергер

@MartinBerger Итак, вы говорите, что CR не подразумевает последовательность в CIC? Потому что это в

λ

$\lambda$ -калькул, например, К

\neq

$\neq$ Я . И извините, я не понимаю, что вы указали при рассмотрении вышеуказанного отношения.

— StudentType

Я ничего не знаю о CIC, но очевидная возможность состоит в том, что он не доказывает свою собственность Черч-Россер.

— Эмиль Йержабек

Сильная нормализация была бы ближе к согласованности для теории типов нет? CR подразумевает, что существуют неравные условия, но это не исключает обитателя пустоты. Сильная нормализация внутренне не доказана, поэтому теорема Годельса остается в силе

— Даниэль Гратцер

Интуиция заключается в том, что обычно легко показать, что в системе нет плохого нормального объекта. Теперь, если мы можем убедительно доказать, что все термины имеют нормальную форму, мы готовы. Алгоритм нормализации легко формализовать. Самое сложное - показать, что это заканчивается. Если у нас есть функции, которые растут достаточно быстро внутри системы, то мы можем использовать их, чтобы доказать верхнюю границу завершения алгоритма нормализации. Я думаю, что старая книга Жирара должна иметь это. Доказательства и типы также могут. (Любая хорошая книга по теории доказательств, в которой обсуждаются вероятные полные функции теории, должна иметь ее.)

— Kaveh

Во-первых, вы путаете согласованность CIC как эквациональной теории с согласованностью CIC как логической теории . Первое означает, что не все термины CIC (одного типа) $\beta\eta$ -эквивалентны. Второе означает, что тип $\bot$ не обитаем. ЧР подразумевает первый вид последовательности, а не второй. Это, как было указано в комментариях, подразумевается вместо (слабой) нормализации. Прототипом этой ситуации является чистый $\lambda$ -калькулус: он является непротиворечивым (CR имеет место), но, если вы рассматриваете его как логическую систему (как изначально предполагал Алонзо Чёрч), он непоследователен (на самом деле, он не нормализуется).

Во-вторых, как указал Эмиль, даже если у CIC есть данное свойство (CR или нормализация), вполне возможно, что CIC сам не может доказать это свойство. В этом случае я не вижу никакой несогласованности в том факте, что CIC может доказать свое собственное свойство CR, и я предполагаю, что это действительно так (элементарные комбинаторные аргументы обычно достаточны для CR, и такие аргументы определенно попадают в огромные логическая сила CIC). Однако CIC, безусловно, не доказывает свое собственное свойство нормализации именно из-за второй теоремы о неполноте.

— Дамиано Мазза
источник

+1 Спасибо! Не могли бы вы немного рассказать, как это (слабое) свойство нормализации подразумевает последовательность (логической теории)? то есть каков тот факт, что каждый термин имеет нормальную форму, подразумевает, что

⊥

$\bot$ обитаем?

— StudentType

Конечно! По сути, это тот факт, что устранение сокращений подразумевает последовательность. Подробнее: поскольку нормализация сохраняет типы, слабая нормализация подразумевает, что если

⊥

$\bot$ заселен, то заселен обычным термином. Но это (обычно) тривиальное следствие определения логической системы (например, CIC или любого из исчислений

λ

$\lambda$ -куб), что нет нормального жителя

⊥

$\bot$ ,

— Дамиано Мазза

@StudentType: это относительно простая лемма (посредством индукции по деривациям), что термин индуктивного типа в нормальной форме в пустом контексте должен быть конструктором, применяемым к аргументам.

⊥

$\bot$ является индуктивным типом без конструкторов. Подобные доказательства работают с альтернативными определениями

⊥

$\bot$ ,

— Коди

Да, ты прав @ коди! Я должен был сказать, что (в традиционных системах) не существует закрытого нормального жителя

⊥

$\bot$ (есть много нормальных жителей

⊥

$\bot$ которые не закрыты!).

— Дамиано Мазза