Булевы функции коэффициентов Фурье, описываемые схемами с ограниченной глубиной с вентилями AND OR и XOR

Пусть - булева функция, и давайте подумаем о f как о функции от до . На этом языке разложение Фурье функции f является просто разложением функции f по квадратным свободным мономам. (Эти мономов образуют базис для пространства вещественных функций на . Сумма квадратов коэффициентов равна просто так что приводит к распределению вероятностей по квадратным свободным мономам. Назовем это распределение F-распределением.$f$$\{-1,1\}^n$$\{ -1,1 \}$$2^n$$\{-1,1\}^n$$1$$f$

Если f можно описать ограниченным контуром глубины полиномиального размера, то из теоремы Линиала, Мансура и Нисана мы знаем, что распределение F сосредоточено на размером вплоть до почти экспоненциально малого веса. Это вытекает из леммы переключения Hastad. (Прямое доказательство было бы наиболее желательно.)$\text{polylog } n$

Что происходит, когда мы добавляем врата мод 2? Одним из примеров для рассмотрения является функция для переменных, которая описывается как внутреннее произведение mod 2 первых n переменных и последних n переменных. Здесь F-распределение равномерно.$IP_{2n}$$2n$

Вопрос : F-распределение булевой функции, описываемой ограниченным полиномиальным размером размера AND, OR, MOD , сосредоточено (с точностью до сверхполиномиально малой ошибки) на «уровнях»?$_2$$o(n)$

Замечания :

1. Одним из возможных путей к контрпримеру было бы «склеить» различные IP на непересекающихся наборах переменных, но я не вижу, как это сделать. Возможно, следует ослабить вопрос и разрешить присваивать переменные некоторым весам, но я также не вижу четкого способа сделать это. (Таким образом, ссылка на эти два вопроса также является частью того, о чем я спрашиваю.)$_2k$

2. Я бы предположил, что положительный ответ на вопрос (или к успешному варианту) будет применяться также и тогда, когда вы разрешите моду . (Таким образом, постановка вопроса была мотивирована недавним впечатляющим результатом ACC Райана Уильямса.) $_k$

3. Для MAJORITY F-распределение велико (1 / poly) для каждого «уровня».

Как показал Лука, ответ на заданный мной вопрос - «нет». Вопрос, который остается, состоит в том, чтобы предложить способы поиска свойств F-распределений булевых функций, которые могут быть описаны с помощью логических элементов AND OR и mod 2, которые не являются общими для MAJORITY.

Попытка сохранить вопрос, рассказав о функциях MONOTONE:

Вопрос : F-распределение булевой функции MONOTONE, описываемой полиномиальным размером с ограниченной глубиной, AND, OR, MOD , сконцентрировано (с точностью до сверхполиномиально малой ошибки) на «уровнях»?$_2$$o(n)$

Мы можем предположить, что мы можем даже заменить на так что контрпример для этой сильной версии может быть интересным. $o(n)$$\text{polylog} (n)$

Гил, что-нибудь вроде этого будет контрпримером?

Пусть таково, что , и представьте, что битный вход - это пара где - это m-битная строка а - целое число. в диапазоне записано в двоичном виде.$m$$n=m+\log m$$n$$(x,i)$$x$$(x_1,\ldots ,x_m)$$i$$1,\ldots,m$

Затем мы определяем$f(x,i):= x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$

Теперь для каждого функция f () имеет соотношение с символом Фурье , и, таким образом, «уровень i» имеет по крайней мере доля масс. (На самом деле больше, но этого должно хватить)$i=1,\ldots,m$$1/m$$x_1 \oplus \cdots \oplus x_i$$1/m^2$

f () может быть реализовано в глубине-3: поместите все XOR в слой, а затем выполните «выделение» в двух слоях AND, OR и NOT (не считая NOT как добавление к глубине, как обычно).