Сложность поиска точки Борсук-Улам

Теорема Борсука-Улама говорит, что для любой непрерывной нечетной функции из n-сферы в евклидово n-пространство существует точка такая, что .х 0 г ( х 0 ) = $g$$x_0$$g(x_0)=0$

Simmons и Su (2002) описывают метод аппроксимации точки с использованием леммы Такера . Однако не ясно, какова сложность их метода во время выполнения.$x_0$

Предположим, нам дан оракул для функции и коэффициент приближения . Что такое сложность во время выполнения (как функция от ):ε > 0 $g$$\epsilon>0$$n$

1. Нахождение точки такой ?| г ( х ) | < $x$$|g(x)|<\epsilon$
2. Находим точку такую, что , когда - точка, удовлетворяющая ?| х - х 0 | < ϵ x 0 г ( x 0 ) = $x$$|x-x_0|<\epsilon$$x_0$$g(x_0)=0$

Пападимитриу показал, что версия этой проблемы является PPAD-полной в статье, посвященной этому классу: «О сложности аргумента четности и других неэффективных доказательствах существования» .

Его формулировка проблемы такова:

$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$L 1 f ( p ) f ( p ) ≤ $\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$ х| f(x)-f(-x)| ≤$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Замечание - во многих случаях, когда вы видите теорему с фиксированной точкой, PPAD является хорошим предположением для сложности ее нахождения ...)

Как дается оракул и что мы знаем о ? Если оракул является черным ящиком, и мы знаем только, что непрерывно нечетно, то уже при нам может потребоваться бесконечно много вопросов ...г н = $g$$g$$n=1$

Если оракул дается какой-то машиной Тьюринга, то вы понимаете, что ваша проблема

1. FIXP-полной,

2. PPAD-полной,

где размер ввода - длина . Для ознакомления с ними см. Http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf .$\epsilon$