Численная точность в методе суммы квадратов?

Я немного читал о методе суммы квадратов (SOS) из опроса Barak & Steurer и лекционных заметок Barak . В обоих случаях они охватывают вопросы числовой точности под ковриком.

Из моего (по общему признанию ограниченного) понимания метода следует следующее:

Для любой системы полиномиальных равенств над вещественными переменными x ∈ R n , где все параметры O ( 1 ) ( n , | E | и степень каждого ограничения), степень - « 2 n » ( = O ( 1 ) ) Метод SOS находит удовлетворительное назначение переменных или доказывает, что в O ( 1 ) времени не существует. $E$$x \in \mathbb{R}^n$$O(1)$$n$$|E|$$2n$$=O(1)$$O(1)$

Мой первый вопрос: верно ли приведенное выше утверждение (есть ли наивный аргумент, который не использует SOS для решения этой проблемы?). Второй вопрос, где числовая точность подходит. Если я хочу получить назначение, которое удовлетворяет всем ограничениям с точностью до аддитивной , как время выполнения зависит от 1 / ε ? В частности, это полином?$\varepsilon$$1/\varepsilon$

Мотивация для этого заключается, скажем, в применении подхода «разделяй и властвуй» в большой системе до тех пор, пока базовый случай не станет системой размера .$O(1)$

EDIT: От Barak-Steurer, оказывается , что «степень сумм квадратов алгоритм» на (и п.9 пунктов , ведущих к нему) все определения задач для решения более R , а на самом деле определение псевдо -распределение в разделе 2.2 находится над R . Однако теперь из леммы 2.2 я вижу, что не гарантируется решение / опровержение на степени 2 n без бинарных переменных.$l$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$2n$

Поэтому я могу немного уточнить свой вопрос. Если ваши переменные не являются двоичными, беспокойство заключается в том, что последовательность выходов не является конечной (может быть, даже не монотонно возрастающей?). Таким образом, вопрос: φ ( l ) все еще увеличивается? И если да, то как далеко вы должны пройти, чтобы получить аддитивную точность ε ?$\varphi^{(l)}$$\varphi^{(l)}$$\varepsilon$

Хотя это , вероятно , ничего не изменится, я знаю , что моя система выполнима (не опровержение какого -то степени), так что я на самом деле просто обеспокоен , насколько велика должна быть. Наконец, меня интересует теоретическое решение, а не числовое решение.$l$

Вот комментарий Боаза Барака по этому вопросу:

Мы подметаем числовую точность под ковром - более «традиционная» литература SOS о Паррило, Лассере и т. Д. Имеет дело с этими проблемами (например, см. Обзоры Моник Лоран и ссылки в них). Известно, что эта иерархия является монотонной (нетрудно видеть, что псевдораспределение степени является, в частности, степенью l - 1 ), и что она будет сходиться в конечной степени для любого фиксированного набора уравнений (это Positivstellensatz). Точная степень может варьироваться. Как правило, если все коэффициенты полиномов ограничены, и вы пытаетесь различить случай, когда существует решение, и случай, когда в любом назначении одно из уравнений выключено на ϵ , то можно дискретизировать это до$l$$l-1$$\epsilon$ для δ, связанной с числом переменных, степенью уравнений и$\delta$$\delta$$\epsilon$ , а затем (при условии, что сеть достаточно «хороша» и «подобна кубу») требуемая степень должна быть приблизительно равна log-размеру сети.

Я думаю, что мой ответ, вероятно, недостаточен, но он остается для полноты картины (хотя см. Комментарии Боаза ниже для, вероятно, лучшего ответа)

Когда мы ограничиваемся булевыми переменными, утверждение можно увидеть, когда для всех i ∈ [ n ] с наблюдением, что псевдораспределения степени 2 n являются действительными, то есть предположим, что вы имеете псевдораспределение µ ( x ) по решениям x ваших полиномиальных равенств E, удовлетворяющих:$(x_i^2-1) \in E$$i \in[n]$$2n$$\mu(x)$$x$$E$

и Σ х ∈ { - 1 , 1 } п μ ( х ) р 2 ( х ) ≥ 0 для всех полиномов р со степенью в большей$\sum_{ x \in \{-1,1\}^n} \mu(x)$$\sum_{x\in\{-1,1\}^n} \mu(x) p^2(x)\ge0$$p$$n$

Но полиномы степени включают индикаторный полином (например, x 1 = 1 , x 2 = - 1 , x 3 = 1 имеет 2 - 3 ( 1 + x 1 ) ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 3 ), который все ноль в другом месте и 1 в этом назначении). Таким образом, µ ( x ) ≥ 0 для всех x ∈ $n$$x_1 = 1, x_2=-1, x_3=1$$2^{-3}(1+x_1)(1-x_2)(1+x_3)$$\mu(x) \ge 0$ , поэтому мы приходимвыводу μ является фактическим распределением по решениям Е . Степень л псевдо-распределения могут быть найдены с помощью полуопределенного программированиячтобы найти соответствующую степень л оператор псевдо-ожидание в п О ( ℓ ) время, поэтому мы можем найти фактическое распределение М во время п О ( п ) с помощью этого псевдо- ожидание (теперь фактическое ожидание), чтобы найти все моменты μ .$x\in\{-1,1\}^n$$\mu$$E$$\ell$$\ell$$n^{O(\ell)}$$\mu$$n^{O(n)}$$\mu$

Так что, если , то можно найти распределение решений E за O ( 1 ) по времени. Конечно, поиск методом перебора гарантирует то же самое.$|E| = O(1)$$E$$O(1)$

Однако, если решения не обязательно являются булевыми, то псевдо-ожиданий степени недостаточно, чтобы найти распределение по решениям. Как видно выше, доказательство того, что псевдораспределения степени 2 n являются действительными, зависит от того факта, что полиномов степени n достаточно, чтобы «выбрать» отдельные присвоения, что в общем случае неверно. Еще один способ просмотра состоит в том, что булево-переменные полиномы считаются$2n$$2n$$n$ , поэтому степень каждого монома не превосходит n .$\mod(x_i^2)$$n$

Например, можно было бы рассмотреть возможность замены каждой бинарной переменной с 4-кратной переменной, скажем, в том числе . Тогда вам потребуется псевдо-ожидание степени 4 n , чтобы гарантировать восстановление распределения по решениям.$(x_i^2-1)(x_i^2-4) \in E$$4n$

Теперь, для теоретических гарантий, похоже, что аппроксимация корня системы полиномов также известна как 17-я проблема Смейла, и, по-видимому, существует рандомизированный (Лас-Вегас) алгоритм полиномиального времени, который решает эту проблему - см. Http://arxiv.org /pdf/1211.1528v1.pdf . Обратите внимание, что это, кажется, в модели Блюм-Шуб-Смейл, поэтому реальные операции являются примитивными. Я не уверен, дает ли это гарантию, что вам нужно.