Нижняя граница оценки

Я хотел бы знать ( в связи с этим другой вопрос ) , если нижние оценки были известны следующие задачи тестирования: один получает доступ запроса к последовательности неотрицательных чисел п ≥ ⋯ ≥ 1 и & epsi ; ∈ ( 0 , 1 ) с обещанием, что либо k n k = 1 a k = 1, либо ∑ n k = 1 a k ≤ 1 - ε .$a_n \geq \dots\geq a_1$$\varepsilon \in (0,1)$$\sum_{k=1}^n a_k = 1$$\sum_{k=1}^n a_k \leq 1-\varepsilon$

Сколько запросы (Lookups) достаточны и необходимы для (адаптивного) рандомизированного алгоритма различения между этими двумя случаями, с вероятностью по крайней мере ?$2/3$

Я нашел предыдущий пост, который дает логарифмическую (по ) верхнюю границу для связанной задачи аппроксимации суммы и приблизительно совпадающую нижнюю границу этой проблемы для детерминированных алгоритмов; но не смог найти результат для конкретной проблемы, которую я рассматриваю (в частности, рандомизированные алгоритмы).$n$

---

Изменить: После ответа ниже, я думаю, я должен был быть более ясным: в приведенном выше (и особенно в асимптотике для нижней границы), является «основной» величиной, рассматриваемой как уходящая в бесконечность, в то время как ε является (сколь угодно малым ) постоянная$n$$\varepsilon$

Вот нижние границы, которые я могу показать. Я предполагаю, что для фиксированного правая нижняя граница Ω ( log n ) , но, естественно, я могу ошибаться.$\epsilon$$\Omega( \log n)$

Я собираюсь использовать уменьшающуюся последовательность (просто для удобства). Основной механизм разбивает последовательность на блоков. В я - м блоке там будут п I элементов (т.е. Е I п я = п ).$L$$i$$n_i$$\sum_i n_i = n$

Далее мы хотим, чтобы алгоритм работал с вероятностью для некоторого параметра δ > 0 .$\geq 1-\delta$$\delta >0$

Первая нижняя граница: .$\displaystyle \Omega\left( \frac{1}{\epsilon} \log \frac{1}{\delta} \right)$

й блок имеет п я = 2 я - 1 элементов, так что L = Л.Г. п . Мы устанавливаем значение всех элементов в i- м блоке равным ( 1 + X i ) / ( 2 n i L ) , где X i - это переменная, равная 0 или 1 . Ясно, что общая сумма этой последовательности равна α = L ∑ i = 1 1 + $i$$n_i = 2^{i-1}$$L = \lg n$$i$$(1+X_i)/(2n_iL)$$X_i$$0$$1$ Представьте себе, что каждыйXi выбираетсяс вероятностьюβравной1и0 впротивном случае. Для оценкиαнам нужна надежная оценкаβ. В частности, мы хотим уметь различать основаниеβ=1-4ϵи, скажем,β=1.

$$\alpha = \sum_{i=1}^L \frac{1+X_i}{2n_i L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2L}\left(\sum_{i=1}^L X_i \right).$$ $X_i$$\beta$$1$$0$$\alpha$$\beta$$\beta = 1-4\epsilon$$\beta=1$

Теперь представьте выборку этих случайных величин, и пусть Z 1 , … , Z m будут выборочными переменными. Настройки Y = ∑ m i = 1 ( 1 - X i ) (обратите внимание, что мы берем сумму переменных дополнения ), мы имеем μ = E [ Y ] = ( 1 - β ) m , и неравенство Чернова говорит нам что если β = 1 - $m$$Z_1, \ldots, Z_m$$Y = \sum_{i=1}^m (1-X_i)$$\mu = E[Y] = (1-\beta) m$ , то μ = 4 ε м , а вероятность неудачи Р [ Y ≤ 2 ε т ] = Р [ Y ≤ ( 1 - 1 / 2 ) μ ] ≤ ехр ( - μ ( 1 / 2 ) 2 / 2 ) = exp ( - ϵ м / 2 ) . Чтобы сделать это количество меньше, чем$\beta =1-4\epsilon$$\mu = 4\epsilon m$

$$P\left[ Y \leq 2\epsilon m \right] = P\left[ Y \leq (1-1/2) \mu \right] \leq \exp \left( -\mu (1/2)^2 / 2 \right) = \exp \left( -\epsilon m / 2 \right).$$ , нам нужно m ≥ $\delta$ .$\displaystyle m \geq \frac{2}{\epsilon} \ln \frac{1}{\delta}$

Ключевое наблюдение состоит в том, что неравенство Чернова является жестким (нужно быть осторожным, потому что оно не корректно для всех параметров, но в данном случае оно корректно), поэтому вы не можете добиться большего успеха (вплоть до констант).

Вторая нижняя граница: .$\Omega( \log n / \log \log n)$

$i$$n_i = L^i$$L = \Theta( \log n / \log \log n)$$i$$\alpha_i = \Bigl(1/L\Bigr)/n_i$$1$

$j$$\alpha_{j-1} = L \alpha_j$$\alpha_j$$j$$1/L$$1$$2$

$L$

$p=1/2$$1$$L/8$$1/8$$L/8$

$$(1-p)(7/8) > 7/16 > 1/3.$$

---

$\Omega(1/\epsilon^2)$

Нижняя граница

$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

$a_1,\dots,a_n$$\epsilon,2\epsilon,3\epsilon,4\epsilon,\dots$$n$$a_1+\dots+a_n = 1$$n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$

Теперь построим новую последовательность , изменив один элемент из указанной последовательности путем вычитания $a'_1,\dots,a'_n$$\epsilon$$a'_1=a_1$$a'_2=a_2$$a'_i = a_i - \epsilon$$a'_1 + \dots + a'_n = 1-\epsilon$

$a_1,\dots,a_n$$a'_1,\dots,a'_n$$i$$\Omega(n)$$n \approx 1/\sqrt{2\epsilon}$$\Omega(1/\sqrt{\epsilon})$

Верхняя граница

$O(\lg(n/\epsilon) [\lg n + 1 / \epsilon^2])$

$[0,1]$

$$[0,1] = [0,0.25\epsilon/n] \cup (0.25\epsilon/n,0.5\epsilon/n] \cup (0.5\epsilon/n,\epsilon/n] \cup (\epsilon/n,2\epsilon/n] \cup (2\epsilon/n,4\epsilon/n] \cup \dots \cup (\ldots,1].$$

$a_i$$a_i$$a_i$$[\ell,u]$$i,j$$a_i,\dots,a_j \in [\ell,u]$$O(\lg(n/\epsilon))$

Теперь мы оценим сумму значений в каждом диапазоне. Первый диапазон будет обрабатываться отдельно от всех остальных:

• $[0,0.25\epsilon/n)$$0$$m \times 0.25\epsilon/n$$m$$m \le n$$0.25 \epsilon$

• $\delta$$O(1/\delta^2)$$2 \times$$\delta = 0.25 \epsilon$

$0.25 \epsilon$$0.25 \epsilon$$\le 0.5 \epsilon$$1$$1-\epsilon$