Любой многочлен, который трудно сосчитать, но легко решить?

Каждая монотонная арифметическая схема , то есть -цепь, вычисляет некоторый многомерный многочлен с неотрицательными целыми коэффициентами. Учитывая полином , схема $\{+,\times\}$ $F(x_1,\ldots,x_n)$ $f(x_1,\ldots,x_n)$

вычисляет если выполняется для всех ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in \mathbb{N}^n$
считает если выполняется для всех ; $f$ $F(a)=f(a)$ $a\in\{0,1\}^n$
решает если точно, когда выполняется для всех . $f$ $F(a)>0$ $f(a)>0$ $a\in\{0,1\}^n$

Я знаю явные полиномы (даже полилинейные), показывающие, что разрыв в размере схемы «вычисляет / считает» может быть экспоненциальным. Мой вопрос касается разрыва "считает / решает". $f$

Вопрос 1: Кто-нибудь знает какой-нибудь полином который экспоненциально сложнее сосчитать, чем решать по -схемам? $f$ $\{+,\times\}$

В качестве возможного кандидата можно взять многочлен PATH, переменные которого соответствуют ребрам полного графа в , а каждый моном соответствует простому пути от узла к узлу в . Этот полином может быть решено с помощью схемы размера , реализующей, скажем, алгоритм динамического программирования Беллмана-Форда, и это относительно легко показать , что каждый -circuit вычисления пути должен имеют размер . $K_n$ $\{1,\ldots,n\}$ $1$ $n$ $K_n$ $O(n^3)$ $\{+,\times\}$ $2^{\Omega(n)}$

С другой стороны, каждый контур подсчет PATH решает PATH проблемы, т.е. подсчитывает число -До- путей в указанном с помощью соответствующей - входной подграфа . Это так называемая P -полная проблема . Итак, мы все «верим», что PATH не может иметь счетных -цепей полиномиального размера. «Единственная» проблема - доказать это ... $\#$ $1$ $n$ $0$ $1$ $K_n$ $\#$ $\{+,\times\}$

Я могу показать, что каждая -схема, подсчитывающая связанный полиномиальный путь Гамильтона, требует экспоненциального размера. Мономы этого многочлена соответствуют -До- путей в , содержащих все узлы. К сожалению, сокращение от HP в PATH по Valiant требует , чтобы вычислить обратную матрицу Вандермонда, и , следовательно , не могут быть реализованы с помощью -circuit. $\{+,\times\}$ $1$ $n$ $K_n$ $\#$ $\#$ $\{+,\times\}$

Вопрос 2: Кто-нибудь видел монотонное сокращение HP до PATH? $\#$ $\#$

И наконец:

Вопрос 3: Была ли вообще рассмотрена «монотонная версия» класса P ? $\#$

NB Обратите внимание , что я говорю об очень ограниченном классе схем: монотонная арифметической схеме! В классе -схем, вопрос 1 было бы просто несправедливо задавать вообще: для таких схем нет нижних границ, превышающих , даже когда требуется вычислить данный многочлен на всех входах в , известен. Кроме того, в классе таких цепей, "структурный аналог" Вопроса 1 - существуют ли P -полные полиномы, которые можно определить с помощью -цепей poly-size ? - имеет утвердительный ответ. Таков, например, постоянный полином PER . $\{+,-,\times\}$ $\Omega(n\log n)$ $\mathbb{R}^n$ $\#$ $\{+,-,\times\}$ $=\sum_{h\in S_n}\prod_{i=1}^n x_{i,h(i)}$

ДОБАВЛЕНО: Цуёси Ито ответил на вопрос 1 очень простым трюком. Тем не менее, вопросы 2 и 3 остаются открытыми. Статус подсчета PATH интересен сам по себе и потому, что это стандартная проблема DP, и потому что он # P-complete.

— Стасис
источник

Что касается вопроса 1, как насчет добавления 1 к многочлену, который трудно сосчитать?

— Цуёси Ито

Ваши три вопроса кажутся достаточно четкими, поэтому они должны быть тремя отдельными вопросами.

— Дэвид Ричерби

Я боюсь, что вы не можете избежать тривиальных примеров, просто запретив константы в арифметических схемах. Как насчет добавления x_1 +… + x_n к сложному для подсчета полиному, который принимает 0 в начале координат? (Более того, если вы запрещаете константы, вы не можете представлять полином, который принимает ненулевое значение в начале координат.)

— Tsuyoshi Ito

«Как и в« теории #P », под« решением »мы подразумеваем« есть хотя бы одно решение ». И константы не являются решениями (обычно). Знаешь, ты здесь на скользком склоне. Рассмотрим аналог #P Вопроса 1: приведите пример отношений R∈FNP, таких что #R является # P-полным, но легко решить, является ли #R (x)> 0 или нет. У нас может возникнуть соблазн сказать «Совпадение», но это излишество. Добавление тривиального решения в 3SAT прекрасно работает, и мой предыдущий комментарий аналогичен этому. (подробнее)

— Цуёси Ито

@ Tsuyoshi Ito: Ну, твой простой трюк (сложение суммы всех переменных в сложный для подсчета полином) фактически отвечает на вопрос 1 (в том виде, в котором он был указан). Не могли бы вы выразить это как ответ?

— Стасис

(Я публикую свои комментарии в качестве ответа в ответ на запрос ОП.)

Что касается вопроса 1, пусть f _n : {0,1} ⁿ → ℕ - семейство функций, арифметическая схема которых требует экспоненциального размера. Тогда f _n +1, но f _n +1 легко определить с помощью тривиальной монотонной арифметической схемы. Если вы предпочитаете избегать констант в монотонных арифметических схемах, то пусть f _n : {0,1} ⁿ → ℕ - семейство функций, такое, что арифметическая схема для f _n требует экспоненциального размера и f _n (0,…, 0) = 0 и рассмотрим f _n + x ₁ +… + x _n .

— Цуёси Ито
источник