Является ли эта вариация TQBF все еще PSPACE-полной?

Решение, если количественная логическая формула, такая как

$\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3\cdots \exists x_n \varphi(x_1, x_2,\ldots , x_n),$

всегда оценивается как истина - это классическая PSPACE-полная проблема. Это можно рассматривать как игру двух игроков с чередующимися ходами. Первый игрок решает значение истинности переменных с нечетными номерами, а второй игрок решает значение истинности переменных с четными номерами. Первый игрок пытается сделать ложным, а второй игрок пытается сделать это правдой. Решение о том, кто имеет выигрышную стратегию, полностью завершено.$\varphi$

Я рассматриваю аналогичную проблему с двумя игроками, один пытается сделать булеву формулу истинной, а другой - ложной. Разница в том, что на ходу игрок может выбрать для него переменную и значение истины (например, в самом первом ходу игрок 1 может решить установить значение в true, а затем в следующем ходу игрок 2 может решить установить в false). Это означает, что игроки могут решить, какие из переменных (из тех, которым еще не было назначено значение истинности) они хотят назначить значение истинности, вместо того, чтобы играть в игру в порядке .$\varphi$$x_8$$x_3$$x_1 , \ldots , x_n$

Задача задается булевой формулой для переменных, чтобы решить, имеет ли первый игрок (пытающийся сделать его ложным) или второй (пытающийся сделать это правдивым) выигрышную стратегию. Эта проблема явно осталась в PSPACE, поскольку дерево игр имеет линейную глубину.$\varphi$$n$

Остаётся ли PSPACE завершенным?

Это игра « Неупорядоченное удовлетворение ограничений», она PSPACE-завершена и доказана, что PSPACE-полная только недавно ; доказательство можно найти в:

Лаури Алрот и Пекка Орпонен, Игры с неупорядоченным ограничением . Конспект лекций в области компьютерных наук, том 7464, 2012, с. 64-75.

Аннотация:Мы рассматриваем игры для удовлетворения ограничений двух игроков на системах логических ограничений, в которых игроки по очереди выбирают одну из доступных переменных и устанавливают ее в значение true или false с целью максимизации (для игрока I) или минимизации (для игрока). II) количество выполненных ограничений. В отличие от стандартных игр с присвоением переменных типа QBF, мы не навязываем порядок, в котором переменные должны проигрываться. Это делает настройку игры более естественной, но и более сложной для управления. Мы предоставляем стратегии аппроксимации с постоянным множителем за полиномиальное время для Игрока I, когда ограничения представляют собой функции четности или пороговые функции с небольшим порогом по сравнению с арностью ограничений. Кроме того, мы доказываем, что проблема определения того, может ли Player I удовлетворить все ограничения, является PSPACE-полной даже в этой неупорядоченной настройке,

Из содержания:

...
Наш общий пример неупорядоченной игры для удовлетворения ограничений - это игра по булевым формулам ( GBF ). Экземпляр этой игры задаются набором м неконстантных булевых формул над общим набором п переменных Х = { х 1 , . , , , х н } . Мы ссылаемся на формулы в C как на предложения, хотя в общем случае мы не требуем, чтобы они были дизъюнкциями. ...$C = \{c_1,...,c_m\}$$X = \{x_1,...,x_n\}$$C$

Игра на продолжается таким образом, что каждый ход игрока выбирает одну из ранее не выбранных переменных и присваивает ей значение истинности. Игрок I запускается, и игра заканчивается, когда всем переменным присвоено значение. В версии GBF для принятия решения вопрос заключается в том, имеет ли Игрок I всеобъемлющую выигрышную стратегию, с помощью которой она может выполнить все условия независимо от того, что делает Игрок II. В положительном случае мы говорим, что экземпляр является GBF-удовлетворяемым. ..$C$

... Теорема 4. Задача определения GBF-выполнимости булевой формулы является PSPACE-полной.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Даниэль Гриер узнал, что результат был также достигнут Шефером в 70-х, см. Его ответ на этой странице для справки (и upvote его :-). Шефер доказал, что игра все еще PSPACE-полная, даже если она ограничена положительными формулами CNF (т. Е. Пропозициональными формулами в конъюнктивной нормальной форме, в которой нет отрицательных переменных) с максимум 11 переменными в каждом соединении.

Также стоит отметить, что эта проблема была также решена в 70-х годах Томасом Шефером в « Сложности решения задач на основе конечных игр с идеальной информацией от двух человек» . Фактически, он доказывает немного более сильный результат в том, что язык остается PSPACE-полным, даже если он ограничен положительными формулами CNF.

Мы доказали, что эта игра является PSPACE-полной для 5-CNF, но имеет алгоритм линейного времени для 2-CNF. Предыдущий лучший результат был 6-CNF Ahlroth и Orponen.

Вы можете найти документ конференции на ISAAC 2018 .

Обновление: 16 ноября 2019 г.

Мы доказали, что игра доступна для 3-CNF с некоторыми ограничениями для 3-CNF. Мы также радикально предположили, что эта игра также доступна без ограничений для 3-CNF. Вы можете найти первоначальную версию на ECCC .