Простое доказательство Ω (n lg n) оценки наихудшего случая для единственности / отличимости?

Существует несколько доказательств логлинейной нижней границы для проблемы уникальности / отличимости элементов (основанной на деревьях алгебраических вычислений или состязательных аргументах), но я ищу достаточно простую для использования в первом курсе анализа и проектирования алгоритмов. Тот же «уровень сложности», что и нижняя граница для сортировки, вполне подойдет. Кроме того, любой подход (например, комбинаторный или основанный на теории информации) будет в порядке. Какие-либо предложения?

cc.complexity-theory lower-bounds proofs

— Магнус Ли Хетланд
источник

Какую модель вычислений вы имеете в виду? Если элементы являются маленькими целыми числами, можно сделать

, отсортировав. Если элементы можно сравнивать только по неравенству, то, кажется, есть

o (n \log n)

$o(n \log n)$

нижняя граница

. Правильно ли сделать вывод из искомого ответа, что элементы линейно упорядочены и могут сравниваться для <, =,>, но без других операций?

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Уоррен Шуди

Вопрос Уоррена в его комментарии - хороший вызов. В связи с этим, комментарий Дэвида Эппштейна по другому вопросу является проницательным, где он подчеркивает важность определения вычислительной модели, когда мы говорим об этом виде нижних границ. Кстати, я не уверен, имеет ли смысл перечислять «деревья алгебраических вычислений» (модель вычислений) и «состязательные аргументы» (метод доказательства) рядом.

— Цуёси Ито

Очень хорошие очки. Моя заявка здесь объясняет доказательства твердости путем сокращения - например, путем сокращения от уникальности до сортировки (и некоторых других проблем). Поэтому я предполагаю те же основные операции, что и при работе с сортировкой сравнения (чтобы сокращение работало). (Или, я думаю, что-нибудь эквивалентное ОЗУ с действительными числами.)

— Магнус Ли Хетланд

Ответы:

Любой сертификат (подтверждение) отличимости, который использует только <, = и>, должен включать сравнения между каждой парой смежных элементов в отсортированном порядке. Поэтому любой сертификат отличимости дает достаточно информации для сортировки, и, следовательно, стандартная теоретико-информационная нижняя граница для сортировки применима также к любому алгоритму детерминированной отличимости.

— Уоррен Шуди
источник

Этот аргумент работает для деревьев сравнения, но не (напрямую) для более общих моделей дерева решений.

— Джефф

Джефф: Я согласен. Я сомневаюсь, что есть достаточно простое доказательство для целей Магнуса, которое работает в более общей модели.

— Уоррен Шуди

Правильно. Деревья сравнения хороши для моего приложения - так что я думаю, это довольно близко к тому, что я ищу. Моя заявка объясняла идею доказательства твердости, включая сокращение до сортировки, поэтому тот факт, что доказательство сортировки используется здесь, как бы замыкает все это. Думаю, мне следовало прямо заявить :-)

— Магнус Ли Хетланд

Я не уверен, правильно ли я понимаю вопрос, но доказательство Добкина и Липтона [DL79] о том, что проблема единственности по n числам требует Ω ( n log n ) сравнений в модели линейного дерева решений, намного проще, чем более сильный результат в модель алгебраического дерева вычислений Бен-Ор [Ben83] (что неудивительно).

Ссылки

[Ben83] Майкл Бен-Ор. Нижние оценки для деревьев алгебраических вычислений. В материалах пятнадцатого ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений (STOC 1983) , с. 80–86, апрель 1983 г. http://doi.acm.org/10.1145/800061.808735

[DL79] Дэвид П. Добкин и Ричард Дж. Липтон. О сложности вычислений при различных наборах примитивов. Журнал компьютерных и системных наук , 18 (1): 86–91, февраль 1979. http://dx.doi.org/10.1016/0022-0000(79)90054-0

— Цуёси Ито
источник

Вкратце: рассмотрим пространство R ^ n всех возможных входов. Множество положительных входов имеет n! связанные компоненты, по одному на каждую перестановку. С другой стороны, входные данные подмножества, которые могут достигать любого листа в линейном дереве решений, являются выпуклыми и, следовательно, связанными. Таким образом, любое линейное дерево решений, определяющее уникальность, имеет не менее n! уходит.

— Джефф

Более тонкий аргумент требуется для особого случая целочисленных входных данных. См. Lubiw и Rács, «Нижняя оценка для задачи о различимости целочисленных элементов», Информация и вычисления 1991; или Яо, «Нижние оценки для деревьев алгебраических вычислений с целочисленными входами», FOCS 1989.

— Джефф

@JeffE: Ваше краткое объяснение замечательно. Также спасибо за указатель на интересные результаты. Мне никогда не приходило в голову, что нижняя граница Ben-Or не сразу применима к случаю, когда ввод ограничен целыми числами!

— Цуёси Ито

Джефф: это должно быть в ответе!

— Суреш Венкат

Спасибо как Цуёси Ито, так и Джеффу. Я уже видел доказательство пространства R ^ n (в настройках, использующих аргументы противника). Я думал, что это было слишком сложно для моей целевой аудитории, когда я впервые прочитал это, но я думаю, может быть, это не так, на самом деле. Благодарю. (Я также видел статью о целочисленном случае - думаю, я не буду вдаваться в это в своей лекции… :)

— Магнус Ли Хетланд