Есть ли естественное ограничение логики VO, которое захватывает P или NP?

Бумага

• Лаури Хелла и Хосе Мария Turull-Torres, Вычисление запросов с помощью логики высшего порядка , TCS 355 197–214, 2006. doi: 10.1016 / j.tcs.2006.01.009

предлагает логику VO, логику переменного порядка. Это позволяет определять количество заказов по переменным. VO довольно мощный и может выражать некоторые невычислимые запросы. (Как указывает Артур Мильхиор ниже, он фактически охватывает всю аналитическую иерархию .) Авторы показывают, что фрагмент VO, полученный путем разрешения только ограниченной универсальной количественной оценки по переменным порядка, точно выражает все запросы ce. VO позволяет переменным порядка варьироваться по натуральным числам, поэтому ограничение переменных порядка является естественным условием.

Есть (хороший) фрагмент VO, который захватывает P или NP?

Как аналогия, в классической логике первого порядка, допускающей количественное определение наборов объектов, получается более мощная логика, называемая логикой второго порядка или SO. SO захватывает всю полиномиальную иерархию ; это обычно пишется как PH = SO. Существуют ограниченные формы SO, захватывающие важные классы сложности: NP = SO, P = SO-Хорн и NL = SO-Кром. Они получены путем наложения ограничений на синтаксис разрешенных формул.$\exists$

Таким образом, существуют простые способы ограничить SO для получения интересных классов. Я хотел бы знать, есть ли подобные прямые ограничения VO, которые являются приблизительно правильным уровнем выразительности для P или NP. Если такие ограничения не известны, меня будут интересовать предложения для вероятных кандидатов или некоторые аргументы, почему такие ограничения вряд ли существуют.

Я проверил (несколько) статей, которые ссылаются на этот, и проверил очевидные фразы в Google и Scholar, но не нашел ничего явно уместного. Кажется, что большинство работ, посвященных логикам, более мощным, чем первый порядок, не касаются ограничений, позволяющих снизить мощность в сфере «разумных» вычислений, но кажутся довольными пребыванием во вселенной арифметических и аналитических классов. Я был бы счастлив с указателем или неочевидной фразой для поиска; это может быть хорошо известно тому, кто работает в логиках более высокого порядка.

Примечание: это не совсем ответ на вопрос, это просто некоторые комментарии, опубликованные в качестве ответа. :)

Обратите внимание, что в VO каждый определяет множества над множеством натуральных чисел (аналогично наборам, определенным в теории рекурсии), где, как и в случае описательной сложности (SO, exist-SO, SO-Horn), мы говорим о конечных структурах. Формула SO в первом случае даст не а всю аналитическую иерархию, как написал Артур Мильхиор в своем ответе. ИМХО, лучшее сравнение было бы с ограниченными арифметическими теориями. Я не думаю, что вы можете получить ниже ce наборов, если вы не привязали все квантификаторы к конечным доменам, чтобы получить или размер доменов должен быть очень маленьким.$\exists$$PH$$P$$NP$

Достаточно ли наличия одного неограниченного квантификатора для захвата множества?

Проблема в том, что вы, вероятно, хотите, чтобы в языке не было лишних символов, таких как равенство, сложение, умножение (верно?), Если бы они у нас были, то по теореме MRDP, диофантовым формулам (экзистенциальные кванторы первого порядка перед равенством двух полиномов) будет захватывать ce сетов. Если мы не разрешаем эти символы в языке, проблема более сложная, можно использовать квантификаторы более высокого порядка для их определения, но это увеличит сложность квантификатора. Поэтому, если я хочу дать краткий ответ на ваш вопрос об одном квантификаторе, я не знаю.

Если мы можем выразить отношения на языке, то для захвата ce множеств будет достаточно одного неограниченного экзистенциального квантификатора, причина в том, что может проверить, что строка является вычислением TM на входе . Формулы первого порядка, ограниченные полиномами при наличии равенства, сложения и умножения, захватывают PH, поэтому, если они у нас есть на языке, ответ положительный, но, как я сказал, вы, вероятно, ищете язык без этих символов.$AC^0$$AC^0$$c$$e$$x$

Некоторые дополнительные комментарии:

Предположим, что у нас есть ограничение VO, которое может выражать, по крайней мере, . Тогда один неограниченный экзистенциальный квантор числового типа перед этими ограниченными формулами даст целые множества.$AC^0$

Для информации, ВО на самом деле действительно мощнее, чем вы заявляете; он содержит всю аналитическую иерархию (а значит, и всю арифметическую иерархию). Результат не публикуется и не отправляется в любое место, но вы можете найти его на моей странице, www.milchior.fr/ho.pdf, раздел 7, страница 47.

В нем я покажу, как VO позволяет выражать сложение и умножение на переменной порядка; Может быть, некоторые идеи в этой статье могут помочь вам. В частности, я дал эквивалентное определение (я доказываю, что оно эквивалентно), и я думаю, что его проще использовать. (Я хотел избежать того факта, что в их определении VO является ложным, в то время как верно, что означает , что был изменен после количественно, следовательно , это бесполезно , чтобы добавить « » , когда один квантифицирует .$\forall i \forall X^i\forall j\exists Y^j (X^i=Y^j)$$\forall i \forall X^i\forall i\exists Y^i (X^i=Y^i)$$i$$X$$^i$$X$

Одно прямое ограничение - запретить количественное определение одной и той же переменной дважды. Я почти уверен, что это ограничение класса ELEMENTARY. Идея состоит в том, что для каждой формулы с переменной свободного порядка будет одно число такое, что при значение не изменится; следовательно, если мы можем найти это (которое, вероятно, является элементарной функцией размера вселенной), мы можем избежать проверки всех возможных когда мы хотим получить значение но ограничить это .i k i > k ϕ ( i ) k ϕ ( i ) ∀ i ϕ ( i ) ∀ i < k ϕ ( i $\phi(i)$$i$$k$$i>k$$\phi(i)$$k$$\phi(i)$$\forall i \phi(i)$$\forall i < k \phi(i)$

Иначе, вы, конечно, можете ограничить VO, ограничив максимальный принятый заказ; но затем вы получаете язык «высшего порядка» (HO), и это, вероятно, не то, что вы хотите.

Чтобы ответить на ваш комментарий, я думаю, что я должен сделать еще один ответ, говоря только о Кроме и Хорне (может быть, я должен задать вопрос об этом в CSTheory)

Я предлагаю вам прочитать раздел 5.3 на странице 34 моей статьи о проблеме, с которой я столкнулся на Хорне и Кроме в логике высокого порядка. Вы встретите ту же проблему в Переменном Порядке (который явно является надмножеством Высокого Порядка).

Я не знаю, обращали ли вы на это внимание, но SO (krom) равно P, когда первый порядок универсален; действительно, вы можете выразить NP-полную проблему, если добавите существующую переменную первого порядка. (Я не помню пример, который у меня был раньше, я могу попробовать поискать его, если хотите)

Я не знаю, каким было бы это синтаксическое ограничение для логики высокого или переменного порядка ... Я хочу сказать, что вы также должны подумать о хорошем способе ограничения квантификаторов, потому что ограничение только части без квантификаторов бесполезно ( по крайней мере для формул Крома)