Точные алгоритмы экспоненциального времени для программ 0-1 с неотрицательными данными

Существуют ли известные алгоритмы для следующей задачи, которые побеждают наивный алгоритм?

Входные данные: матрица и векторы , где все элементы являются неотрицательными целыми числами.$A$$b,c$$A,b,c$

Вывод: оптимальное решение от до .$x^*$$\max \{ c^T x : Ax \le b, x \in \{ 0,1\}^n \}$

Этот вопрос является уточненной версией моего предыдущего вопроса Точные алгоритмы экспоненциального времени для программирования 0-1 .

если число ненулевых коэффициентов в $A$ является линейным по $n$ , существует алгоритм, который решает эту проблему менее чем за $2^n$ времени.

Вот как это работает. Мы используем стандартную связь между задачей оптимизации и соответствующей ей проблемой решения. Чтобы проверить, существует ли решение где и , мы сформируем решение задачи: мы присоединим ограничение к матрице и проверим существует ли такой , что и . В частности, мы сформируем новую матрицу , взяв и добавив дополнительную строку, содержащую , и мы сформируем , взяв$x$$Ax\le b$$c^T x \ge \alpha$$c^T x\ge \alpha$$A$$x$$Ax \le b$$-c^T x \le -\alpha$$A'$$A$$-c^T$$b'$$b$и добавление дополнительной строки с . Мы получаем решение задачи: существует ли такое, что ? Ответ на эту проблему решения говорит нам, существует ли решение исходной задачи оптимизации значения или больше. Более того, как объяснено в ответе на ваш предыдущий вопрос , эта проблема решения может быть решена менее чем за раз, если число ненулевых коэффициентов в линейно по (и, таким образом, если число ненулевых нулевые коэффициенты в линейны по ). Теперь мы можем использовать бинарный поиск по$-\alpha$$x \in \{0,1\}^n$$A' x \le b'$$\alpha$$2^n$$A'$$n$$A$$n$$\alpha$решить вашу проблему оптимизации менее чем за раз.$2^n$

Я благодарен AustinBuchanan и Stefan Schneider за помощь в отладке более ранней версии этого ответа.

Если мы рассмотрим задачу минимизации , то следующее сокращение показывает, что алгоритм работает за время для опровергнет SETH. Переформулировка доказывает тот же результат для намеченной проблемы (версия максимизации).$\min_y \{c^T y : Ay \ge b, y \in \{ 0,1\}^n \}$$O(2^{\delta n/2})$$\delta <1$

Учитывая экземпляр CNF-SAT с переменными , сформулируйте 0-1 IP с двумя переменными для каждой переменной в экземпляре SAT. Как обычно, предложение будет представлено как . Затем для каждой переменной в экземпляре SAT добавьте ограничение . Цель состоит в том, чтобы минимизировать . Цель IP будет тогда и только тогда , например SAT выполнима.$\Phi = \wedge_{i=1}^m C_i$$\{x_j \}_{j=1}^n$$y_j, \overline{y}_j$$x_j$$(x_1 \vee \overline{x}_2 \vee x_3)$$y_1 + \overline{y}_2 + y_3 \ge 1$$x_j$$y_j + \overline{y}_j \ge 1$$\sum_{j=1}^n (y_j + \overline{y}_j)$$n$

Спасибо Стефану Шнайдеру за исправление.

Обновление: в « Проблемах столь сложных, как CNF-Sat», авторы предполагают, что SET COVER не может быть решена за время , , где относится к числу наборов. Если это правда, это покажет, что моя проблема также не может быть решена за время .$O(2^{\delta n})$$\delta <1$$n$$O(2^{\delta n})$

Обновление 2. Насколько я могу судить, предполагая, что SETH, моя проблема не может быть решена за время , так как было показано, что Набор удара (с базовым набором размера ) не может быть решено за время .$O(2^{\delta n})$$n$$O(2^{\delta n})$