Детерминанты и умножение матриц. Сходство и различия в алгоритмической сложности и размере арифметической схемы

Я пытаюсь понять связь между алгоритмической сложностью и сложностью схемы детерминантов и умножения матриц.

Известно, что определитель матрицы может быть вычислен за время , где - минимальное время, необходимое для умножения любых двух матриц . Также известно, что наилучшая сложность схем определителей является полиномиальной на глубине и экспоненциальной $n\times n$ $\tilde{O}(M(n))$ $M(n)$ $n\times n$ $O(\log^{2}(n))$ на глубине 3. Но сложность схемы умножения матриц для любой постоянной глубины является лишь полиномиальной.

Почему существует разница в сложности схемы для определителей и умножения матриц, хотя известно, что с точки зрения алгоритма вычисление определителей аналогично умножению матриц? В частности, почему сложности схемы имеют экспоненциальный зазор на глубине ? $3$

Возможно, объяснение простое, но я его не вижу. Есть ли объяснение «строгости»?

Также смотрите в: Наименьшая известная формула для определителя

— Т ....
источник

Ответы:

Рассмотрим проблему значений схемы и оценку булевой формулы для различных классов малой сложности. Насколько мы знаем, их детерминированная последовательная сложность по времени похожа, но они сильно отличаются от сложности схемы. Сходство в одном конкретном типе ресурса в одной модели не подразумевает сходство для других ресурсов в других моделях. Одна проблема может быть такова, что мы можем использовать параллельные вычисления для одного, в то время как мы не можем сделать это для другой, но их сложность во времени может быть одинаковой.

Когда можно ожидать более надежной связи между сложностью двух проблем в разных моделях и различными ресурсами? Когда они являются устойчивым сокращением между ними в обоих направлениях, что учитывает ресурсы в этих моделях.

$\mathsf{NL}$ $\mathsf{NC^2}$

— Кава
источник

O (n^{3})

$O(n^{3})$

n^{2}

$n^{2}$

T C^{0}

$\mathsf{TC^0}$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

Я смотрю только на последовательную сложность на данный момент.

— T ....

Я не уверен, что следую вашему комментарию. Я думаю, что мой пост отвечает на вопрос в булевой настройке (в вопросе не упоминались арифметические схемы первоначально IIRC). Что касается арифметической схемы, я не знаю много, надеюсь, другие ответят на вопрос.

— Каве

Я бы сказал, что разрыв в арифметических настройках говорит нам, что умножение матриц по своей сути является гораздо более параллельной задачей, чем определитель. Другими словами, хотя последовательные сложности обеих проблем тесно связаны, их параллельные сложности не так близки друг к другу.

$D(n)$ $n\times n$

O (\log n) \leq D (n) \leq O (\log^{2} n) .

$O(\log n)\le D(n) \le O(\log^2 n).$

3

$3$

(A \cdot B)_{i j} = \sum_{k} A_{i k} B_{k j}

$(A\cdot B)_{ij}=\sum_k A_{ik}B_{kj}$

— Bruno
источник

Я не знаю, является ли это ответом на вопрос «почему сложности схемы имеют экспоненциальный разрыв на глубине-3?», Но по крайней мере у вас есть доказательство этого факта - статья Чэнки.

— Бруно

Если я правильно понимаю, вы намекаете: чтобы иметь полиномиальное число процессоров, нужна логарифмическая глубина?

— Т ....

Я не помню точную модель, которую использовал Csanky. На самом деле он рассматривает то, что мы сейчас называем арифметическими схемами с ограниченным разветвлением . Таким образом, нижняя граница довольно тривиальна, и мое сравнение с умножением матриц не имеет значения.

— Бруно