Об обратном 3-SAT

Контекст : Каввадиас и Сидери показали, что обратная задача 3-SAT является coNP Complete: если набор моделей для переменных, существует ли формула 3-CNF, такая что является ее точным набором моделей? Возникает формула непосредственного кандидата, которая является соединением всех 3-пунктов, удовлетворяемых всем моделям в .n ϕ $\phi$$n$$\phi$$\phi$

Поскольку он содержит все 3 предложения, которые он подразумевает, эту формулу-кандидата можно легко преобразовать в эквивалентную формулу которая 3-замкнута в соответствии с разрешением - 3-замыкание формулы является подмножеством ее замыкания в соответствии с разрешением, содержащим только пункты размером 3 или меньше. Формула CNF закрывается для разрешения, если все возможные резольвенты включены в пункт формулы - в пункт добавляется пункт если все литералы находятся в . c 1 c 2 c 2 c $F_{\phi}$$c_1$$c_2$$c_2$$c_1$

Учитывая , частичное присвоение переменных такое, что не является подмножеством любой модели .я $I$$I$$\phi$

Вызовите , индуцированную формулу, применив к : любое выражение, содержащее литерал, который оценивается как в , удаляется из формулы, а любые литералы, которые оцениваются как в , удаляются из всех пунктов.$F_{\phi|I}$$I$$F_{\phi}$$true$$I$$false$$I$

Вызовите , формулу, которая получена из всеми возможными 3-ограниченными разрешениями (в которых резольвента и операнды имеют не более 3 литералов) и подпунктами.$G_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$

Вопрос : 3-замкнута по разрешению?$G_{\phi|I}$

Ответ: Да (даже если подмножество некоторой модели )$I$$\phi$

Пусть набор предложений, которые происходят от всеми возможными 3-ограниченными разрешениями и подпунктами ( является 3-ограниченным замыканием ). Учитывая предложение, подразумеваемое , существует хотя бы одно подмножество , условия которого подразумевают . Имя такого подмножества. F ϕ ∪ F ϕ | Я R | I F ϕ ∪ F ϕ | I c F ϕ R | Я с р $R_{|I}$$F_{\phi} \cup F_{\phi|I}$$R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$F_{\phi}$$R_{|I}$$c$$R_c$

Пусть следующее свойство: Для всех подразумеваемых таких, что ,c F ϕ | с | Я | ≤ $P(k)$$c$$F_{\phi}$$|c_{|I}| \le 3$

| R c | ≤ k ⇒ c | I ∈ G ϕ | Я$[\exists R_c \subseteq R_{|I}$ такое, что включается в некоторое выражение$|R_c|\le k \Rightarrow c_{|I}$$\in G_{\phi|I}]$

Здесь начинается повторение. Дано подразумеваемое такое, что , т.е. 3-замыкании .F ϕ | с | Я | ≤ 3 с | I ∈ F ϕ | $c$$F_{\phi}$$|c_{|I}|\le 3$$c_{|I} \in$$F_{\phi|I}$

1. ∃ R c ⊆ R | Я / | R c | = 1 R c = { d } d ∈ F ϕ ∪ F ϕ | Я с с | Я д | I ∈ F ϕ | I F ϕ | I G ϕ | I P ( 1 $k=1$ . Если то ( включает ) и относится к (обратите внимание, что любое предложение относится к некоторому предложению ). Таким образом, .$\exists R_c \subseteq R_{|I} / |R_c|=1$$R_c=\{d\}$$d \in F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$$c$$c_{|I}$$d_{|I} \in F_{\phi|I}$$F_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$P(1)$

2. Предположим, что для . Если такое, что (и нет другого размера 1, такого что и ) тогда предположим, что где - литералы, не установленные а - подмножество литералов, все оцениваются как 0 в , т.е. , причем не обязательно отличаются. k ≥ 1 ∃ R c ⊆ R | Я | R c | ≤ k + 1 R c c ∉ F ϕ | с | > 3 c = ( α β γ L I ) α , β , γ I L I I ( L I ≠ ∅ ) c | Я$P(k)$$k\ge1$$\exists R_{c}\subseteq R_{|I}$$|R_{c}|\le k+1$$R_{c}$$c\notin F_{\phi}$$|c|>3$$c=(\alpha \beta \gamma L_{I})$$\alpha ,\beta ,\gamma$$I$$L_{I}$$I (L_I \neq \varnothing)$α , β , $c_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\alpha ,\beta ,\gamma$

3. Удалите предложение из , чтобы , другими словами, чтобы содержал некоторый литерал из (в есть хотя бы одно такое предложение, поскольку ) и . R c | д я | Я | < | д я | ≤ 3 d i L I R c L I ≠ ∅ | д я | Я | ≤ $d_{i}$$R_{c}$$|d_{i|I}|<|d_{i}|\le3$$d_{i}$$L_{I}$$R_{c}$$L_I \neq \varnothing$$|d_{i|I}|\leq 2$

4. Размер оставшегося набора равен . Если определенное предложение подразумевается как (где - это подмножество литералов, все оцениваются как 0 в ), то и такое, что . По , затем включена в категорию некоторого п , индуцируя для . ≤ k c ′ = ( α β γ L ′ I ) R c ∖ d i L ′ I I | с ′ | Я | = 3 ∃ R c ′ = R c ∖ d i ⊆ R | Я | R c ′ | ≤ k P ( k ) $R_{c}\setminus d_{i}$$\le k$$c'=(\alpha \beta \gamma L'_{I})$$R_{c}\setminus d_{i}$$L'_{I}$$I$$|c'_{|I}|=3$$\exists R_{c'}=R_{c}\setminus d_{i}\subseteq R_{|I}$$|R_{c'}|\le k$$P(k)$∈Gϕ| IP(k+1)$c'_{|I}=(\alpha \beta \gamma)$$\in G_{\phi|I}$$P(k+1)$$c$

5. Если содержит или или то бесполезно подразумевать [некоторый пункт включает] . Тогда подразумевает , вызывая как показано ранее.ˉ α ˉ β ˉ γ d i | I c R c ∖ d i c P ( k + 1 $d_{i|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}$$c$$R_{c}\setminus d_{i}$$c$$P(k+1)$

6. Если включает в себя то удовлетворяется для . с | I P ( k + 1 ) $d_{i|I}\in F_{\phi|I}$$c_{|I}$$P(k+1)$$c$

7. Если не входит в и не содержит или или то либо либо или , где и и не установлены , а . с | I ˉ α ˉ β ˉ γ d i | I = ( x ) d i | I = ( a x ) d i | I = ( x y ) x y ∉ { α β γ } I a ∈ { α β γ $d_{i|I}$$c_{|I}$$\bar \alpha$$\bar \beta$$\bar \gamma$$d_{i|I}=(x)$$d_{i|I}=(ax)$$d_{i|I}=(xy)$$x$$y$ $\notin\{\alpha \beta \gamma \}$$I$$a \in\{\alpha \beta \gamma \}$

   • Если то подразумевает (напомним, что подразумевать определенное предложение означает подразумевать пункт, который включает ). Так как любое разрешение с качестве операнда удаляет из другого операнда, то ни в одном из предложений содержится (так как который является 3-ограниченным замыканием ). Тогда подразумевает , вызываяR c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) C C d i | I = ( x ) ˉ x R c ∖ d i ˉ x R c ∖ d i ⊆ R | I F ϕ ∪ F ϕ | Я R c ∖ $d_{i|I}=(x)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$C$$C$$d_{i|I}=(x)$$\bar{x}$$R_{c}\setminus d_{i}$$\bar x$$R_{c}\setminus d_{i} \subseteq R_{|I}$$F_{\phi}\cup F_{\phi|I}$ (αβγ L I )P(k+1$R_{c}\setminus d_{i}$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$ как показано в пункте (4).

   • Если то подразумевает . Замените на в каждом возможном предложении в (если новое предложение добавляется в какое-то предложение в , оставьте вместо этого предложение subsuming. В любом случае заменяющее предложение в ). Назовите результирующий набор ( ). Тогда подразумевает , вызывая как указано выше.R c ∖ d i ( ˉ x α β γ L I ) ˉ x a R c ∖ d i R | Я R | I R c , d i R c , d i ⊆ R | I R c , d i ( α β γ $d_{i|I}=(ax)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$a$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$P(k+1$(\alpha \beta \gamma L_{I})$$P(k+1)$

   • Если то подразумевает и . Замените на в каждом возможном предложении из (как указано выше, если новое предложение включается в какое-либо предложение в , оставьте вместо него предложение subsuming). Назовите результирующий набор ( ). Тогда подразумевает . Поскольку это также подразумевает то оно подразумевает резольвентуР с ∖ д я ( ˉ х & alpha ; & beta ; & gamma л я ) ( ˉ у & alpha ; & beta ; & gamma л я ) ˉ х у Р с ∖ д я Р | I R c , d i R c , d i ⊆ R | Я р с , $d_{i|I}=(xy)$$R_{c}\setminus d_{i}$$(\bar{x}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$\bar{x}$$y$$R_{c}\setminus d_{i}$$R_{|I}$$R_{c,d_{i}}$$R_{c,d_{i}}\subseteq R_{|I}$ (yαβγLI)( ˉ y αβγLI)(αβγLI)P(k+1$R_{c,d_{i}}$$({y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\bar{y}\alpha \beta \gamma L_{I})$$(\alpha \beta \gamma L_{I})$ , индуцирующая .$P(k+1)$

По этой рекурсии любое предложение 3-замыкании включается в какое-то предложение (также имеет место и другой способ). Тогда соответствует 3-замыканию .F ϕ | I ∈ G ϕ | I G ϕ | I F ϕ | $\in$$F_{\phi |I}$$\in G_{\phi|I}$$G_{\phi|I}$$F_{\phi |I}$

Я не понимаю, как можно вычислить за полиномиальное время, потому что само разрешение занимает экспоненциальное время (в худшем случае). Например, предположим, что ваш кандидат 3-CNF формула выглядит следующим образом: Тогда результатом разрешения на будет формула : Таким образом, формула выглядит следующим образом: F 1 F 1 : = { { a , b , c } , { d , e , ¬ c } , { a , ¬ b , f } , { d , e , ¬ f } } F 1 F 2 F 2 : = { { a , b , c } $F_\phi$$F_1$

Однако, как вы можете видеть, чтобы получить последнее предложение в вы должны сначала получить все четырехзначные предложения. Итак, я не вижу способа избавиться от экспоненциально многих шагов для разрешения. В самом деле, для некоторых проблем, таких как принцип «квадратного отверстия», мы знаем, что разрешение не может решить его менее чем за экспоненциально много шагов (но, честно говоря, насколько я знаю, эти примеры не в форме 3-CNF, а в некотором интеллектуальном разрешении). может существовать, когда входные данные гарантированно будут в форме 3-CNF).$F_\phi$