Теорема Черча и теоремы Гёделя о неполноте

Недавно я читал о некоторых идеях и истории новаторской работы, проделанной различными логиками и математиками в отношении вычислимости. В то время как отдельные концепции мне достаточно ясны, я пытаюсь прочно понять их взаимосвязи и абстрактный уровень, на котором они все связаны.

Мы знаем, что теорема Черча (или, скорее, независимые доказательства проблемы Энтшейдунагса Гильберта Алонзо Черчем и Аланом Тьюрингом) доказала, что в целом мы не можем вычислить, является ли данное математическое утверждение в формальной системе истинным или ложным. Как я понимаю, тезис Черча-Тьюринга дает довольно четкое описание эквивалентности (изоморфизма) между церковным лямбда-исчислением и машинами Тьюринга, поэтому у нас фактически есть единая модель вычислимости. (Примечание: насколько мне известно, доказательство Тьюринга использует тот факт, что проблема остановки неразрешима. Поправьте меня, если я ошибаюсь.)

Теперь первая теорема Гёделя о неполноте гласит, что не все утверждения в последовательной формальной системе с достаточной арифметической силой могут быть доказаны или опровергнуты (решены) в рамках этой системы. Во многих отношениях мне кажется, что это говорит мне то же самое, что и теоремы Черча, поскольку лямбда-исчисление и вращающиеся машины являются фактически формальными системами своего рода!

Это, однако, моя целостная интерпретация, и я надеялся, что кто-нибудь сможет пролить свет на детали. Эти две теоремы эффективно эквивалентны? Есть ли какие-то тонкости, которые нужно соблюдать? Если эти теории по существу смотрят на одну и ту же универсальную истину по-разному, почему к ним подходили с разных сторон? (Было более или менее 6 лет между доказательствами Годеля и Черча). Наконец, можем ли мы сказать, что концепция доказуемости в формальной системе (исчисление доказательств) идентична концепции вычислимости в теории рекурсии (машины Тьюринга / лямбда-исчисление)?

Во-первых, я предлагаю вам прочитать «Метаматематику» Клини как хорошую книгу по этим темам. Первые две главы тома I «Классической теории рекурсии» Одифредди также могут помочь понять связь между этими понятиями.

Мы знаем, что теорема Черча (или, скорее, независимые доказательства проблемы Энтшейдунагса Гильберта Алонзо Черчем и Аланом Тьюрингом) доказала, что в целом мы не можем вычислить, является ли данное математическое утверждение в формальной системе истинным или ложным.

Я думаю, что вы имеете в виду теорему Черча о том, что набор теорем логики первого порядка не разрешим. Важно отметить, что язык первого порядка.

Как я понимаю, тезис Черча-Тьюринга дает довольно четкое описание эквивалентности (изоморфизма) лямбда-исчисления Черча и машин Тьюринга, поэтому у нас фактически есть единая модель вычислимости.

Нет. Эквивалентность лямбда-вычислимости и тьюрингова-вычислимости является теоремой Клини. Это не тезис. Это считается доказательством, подтверждающим тезис Черча.

Примечание. Насколько я знаю, в доказательстве Тьюринга используется тот факт, что проблема остановки неразрешима. Поправьте меня если я ошибаюсь.

Теперь первая теорема Гёделя о неполноте гласит, что не все утверждения в согласованной формальной системе могут быть доказаны в этой системе. Во многих отношениях мне кажется, что это говорит мне то же самое, что и теоремы Черча, поскольку лямбда-исчисление и вращающиеся машины являются фактически формальными системами своего рода!

$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$

Это не говорит о том же. Это ничего не говорит о том, что множество теорем теории неразрешимо.

Это, однако, моя целостная интерпретация, и я надеялся, что кто-нибудь сможет пролить свет на детали. Эти две теоремы эффективно эквивалентны? Есть ли какие-то тонкости, которые нужно соблюдать? Если эти теории по существу смотрят на одну и ту же универсальную истину по-разному, почему к ним подходили с разных сторон? (Было более или менее 6 лет между доказательствами Годеля и Черча).

За эти годы было много злоупотреблений теоремы Годеля (и аналогичные теоремы). Нужно быть очень осторожным в толковании их. Насколько я видел, злоупотребления обычно являются результатом того, что забывают упомянуть некоторые условия в теореме или объединяют теоремы с некоторыми другими убеждениями. Внимательный взгляд показывает, что эти теоремы, хотя и связаны, но не эквивалентны.

Наконец, можем ли мы сказать, что концепция доказуемости в формальной системе (исчисление доказательств) идентична концепции вычислимости в теории рекурсии (машины Тьюринга / лямбда-исчисление)?

Я не понимаю, что вы подразумеваете под "тождественным". Конечно, существует много отношений между вычислимостью и доказуемостью. Возможно, я смогу сделать более полезный комментарий, если вы поясните, что вы подразумеваете под идентичностью.

Обновить

$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$

О связи между доказуемостью в формальной системе и вычислимостью. Одним из них является следующее: если система эффективна, то множество выводимых выражений в ней является повторным, и система является частным случаем грамматики. Грамматика - это еще один способ определения концепции вычислимости, которая эквивалентна вычислимости машины Тьюринга.

можем ли мы по существу сказать, что концепция доказуемости в формальной системе (исчисление доказательства) идентична концепции вычислимости в теории рекурсии (машины Тьюринга / лямбда-исчисление)?

Они очень похожи, но не идентичны, потому что некоторые шаги в исчислении доказательства могут представлять невычислимые операции.

$ZFC$$\wp(N)$

Аналогично, теорема Гёделя о полноте говорит нам, что любая действительная формула в логике первого порядка имеет доказательство, но теорема Трахтенброта говорит нам, что над конечными моделями справедливость формул первого порядка неразрешима.

Таким образом, конечные доказательства не обязательно соответствуют вычислимым операциям.

Хотя это не совсем то, о чем вы спрашиваете, но в том же духе, и, надеюсь, вы (и другие читатели вашего вопроса) найдете его интересным. Вы должны определенно прочитать переписку Карри-Ховарда , в которой говорится, что категория программ в определенном смысле изоморфна категории конструктивных доказательств. (Это обсуждает доказательства и вычислимость на другом уровне, чем другие ответы.)

Короче, я постараюсь ответить на ваш вопрос с вашей точки зрения; Я также пытаюсь связать две теоремы по-другому.

Первая теорема Гёделя о неполноте гласит, что в согласованной формальной системе с достаточной арифметической силой существует утверждение P, такое, что не существует доказательств ни его, ни ее отрицания. Это не означает, что не существует алгоритма принятия решения для набора теорем теории, который также сказал бы, что ни P, ни P не являются теоремами. Результат теоремы Черча-Тьюринга говорит, что такого алгоритма не существует. В этом также суть ответа Каве, надеюсь, я объяснил его более четко.

Сейчас я попытаюсь доказать, что теорема Черч-Тьюринга подразумевает теорему Гёделя. Пожалуйста, объясните мне, где и если я ошибаюсь. Набор теорем Thm частично разрешим, и предположим, что R - это программа, которая распознает его (т. Е. Останавливается с помощью «да», если ввод находится в Thm, продолжает работать в противном случае). Давайте использовать это для построения нового алгоритма: учитывая оператор Q, чтобы увидеть, доказуемо ли это, запустим R параллельно на Q, а не на Q, чередуя их выполнение и останавливаясь, когда первый из них останавливается, и производя «No», если «не Q» было доказано, и «да» в противном случае; это дает вычислимый алгоритм. Предполагая противоречие, что все утверждения могут быть доказаны или опровергнуты, этот алгоритм решит проблему Entscheidungs, но это абсурд! Следовательно, должно быть утверждение, которое может