Сколько непересекающихся сокращений кромок должно иметь DAG?

Следующий вопрос связан с оптимальностью алгоритма динамического программирования Беллмана-Форда - кратчайшего пути (см. Этот пост для связи). Кроме того, положительный ответ будет означать, что минимальный размер монотонной недетерминированной программы ветвления для задачи STCONN равен . t Θ ( n 3$s$$t$$\Theta(n^3)$

Пусть - DAG (направленный ациклический граф) с одним исходным узлом и одним целевым узлом . - разрез представляет собой множество ребер, удаление которого уничтожает все - пути длины ; мы предполагаем, что в есть такие пути . Обратите внимание, что более короткие - пути не должны быть уничтожены.S T $G$$s$$t$$k$t ≥ k G s $s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

Вопрос: Имеют ли $G$ должен иметь по крайней мере (о) $k$ непересекающемуся $k$ -cuts?

Если нет $s$ - $t$ путей короче $k$ , ответ ДА, потому что у нас есть следующий известный факт минимума-максимума (двойственный к теореме Менгера ), приписываемый Robacker ^$\ast$ . $s$ - $t$ разреза является $k$ Обрежьте для $k=1$ (уничтожает все $s$ - $t$ путей).

Факт: В любом ориентированном графе максимальное число отрезков $s$ - пересекающихся с ребрами, $t$равно минимальной длине пути $s$ - $t$ .

Обратите внимание, что это верно, даже если граф не является ациклическим.

Доказательство: тривиально, минимум - это, по крайней мере, максимум, поскольку каждый путь - t пересекает каждый разрез s - t на ребре. Чтобы увидеть равенство, пусть d ( u ) - длина кратчайшего пути от s до u . Пусть U r = { u : d ( u ) = r } , для r = 1 , … , d ( t ) и пусть E $s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$быть набором ребер, оставляющих . Ясно, что множества E r не пересекаются, поскольку множества U r таковы. Итак, осталось показать, что каждый E r является s - t разрезом. Чтобы показать это, возьмем произвольный путь s - t p = ( u 1 , u 2 , … , u m ) с u 1 = s и u m = t . С $U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$$u_1=s$$u_m=t$ , последовательность расстояний d ( u 1 ) , … , d ( u m ) должна достичь значения d ( u m ) = d ( t ) , начиная с d ( u 1 ) = d ( s ) = 0 и увеличение значения не более чем на$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$на каждом этапе. Если некоторое значение уменьшается, то мы должны достичь значения d ( u i ) последнего. Таким образом, должен быть j, где происходит переход от d ( u j ) = r к d ( u j + 1 ) = r + 1 , то есть ребро ( u j , u j + 1 ) принадлежит E r , так как желательно. QED $d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$$E_r$

Но что, если есть также более короткие (чем ) пути? Любая подсказка / ссылка? $k$

---

Дж. Т. Роккер, теоремы Мин-Макса о кратчайших цепях и непересекающихся разрезах сети, исследовательский меморандум RM-1660, RAND Corporation, Санта-Моника, Калифорния, [12 января] 1956 г. $^{\ast}$

---

РЕДАКТИРОВАТЬ (день спустя): С помощью короткого и очень приятного аргумента Дэвид Эппштейн ответил на первоначальный вопрос выше отрицательно : полный DAG ( переходный турнир ) не может иметь более четырех непересекающихся k -четов! Фактически он доказывает следующий интересный структурный факт, для k о $T_n$$k$$k$ . Разрез являетсячистым,если он не содержит ребер, инцидентныхsилиt.$\sqrt{n}$$s$$t$

Каждый чистый разрез в T n содержит путь длины k . $k$$T_n$$k$

Это, в частности, означает, что каждые два чистых разреза должны пересекаться! Но, возможно, все еще есть много чистых k- сокращений, которые не перекрывают «слишком много». Отсюда и смягченный вопрос (последствия для STCONN будут такими же ):$k$$k$

Вопрос 2: Если каждый чистый разрез имеет ≥ M ребер, то должен ли граф иметь около Ω ( k ⋅ M ) ребер? $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

Связь со сложностью STCONN проистекает из результата Эрдеша и Галлая, что нужно удалить все, кроме ребер из (неориентированного) K m , чтобы уничтожить все пути длины k . $(k-1)m/2$$K_m$$k$

---

РЕДАКТИРОВАТЬ 2: Теперь я задал вопрос 2 в Mathoverflow .

Краткий ответ: нет.

Пусть - полный DAG (транзитивный турнир) на n вершинах с s и t его источником и стоком, и пусть k = $G$$n$$s$$t$ . Заметьте, что может быть не более четырех непересекающихся разрезов, которые содержат больше чемn/3ребер, падающих наs,или больше чемn/3ребер, падающих наt. Итак, если должно быть много непересекающихся разрезов, мы можем предположить, что существует разрезC, который не содержит большого числа ребер, инцидентныхsиt.$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

Пусть теперь будет полный подграф , индуцированный в G с множеством вершин х таким образом, что ребра ы х и х т не принадлежат C . Число вершин в X не менее n / 3 , потому что в противном случае C коснется слишком большого количества ребер, инцидентных s или t . Однако X ∖ C не может содержать k- путь, потому что если такой путь существует, его можно объединить с s и t, чтобы сформировать длинный путь в $X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$ . Следовательно,многослойное слоение X ∖ C имеет меньше k слоев и имеет слой, содержащий более ( n / 3 ) / k = k вершин. Поскольку это слой с самым длинным слоем пути, он не зависит от X ∖ C и поэтому завершен в C , поэтому C содержит путь P через вершины этого слоя длины k . Этот путь должен отличаться от всех других путей.$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

Каждый разрез, который не является должен содержать либо ребро от s до начала пути P, либо ребро от конца пути P до t , иначе он не будет блокировать путь s - P - t . Таким образом, если C существует, может быть не более трех непересекающихся разрезов. И если C не существует (то есть, если все разрезы покрывают более n / 3 ребер, инцидентных s или t ), может быть не более четырех непересекающихся разрезов. В любом случае, это намного меньше, чем k сокращений.$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$