Комбинаторы для примитивных рекурсивных функций

Хорошо известно, что комбинаторы S и K являются полными по Тьюрингу. Существуют ли комбинаторы, достаточные для получения (только) примитивных рекурсивных функций?

lo.logic computability

— NietzscheanAI
источник

Это то, что вы спрашиваете? mathoverflow.net/questions/48006/…

— Андрей Бауэр

Да, но вы должны рассмотреть типизированные комбинаторы. То есть вам нужно дать и следующие схемы типов: где и являются мета-переменными, которые могут быть созданы для любого конкретного типа при каждом использовании. $S$ $K$

\begin{array}{lcl} К & : & A \to В \to A \\ S & : & (A \to В \to С) \to (A \to В) \to (A \to С) \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$

Затем вы хотите добавить тип натуральных чисел к языку типов и добавить следующие комбинаторы: $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} Z & : & N \\ s U с с & : & N \to N \\ я T е р & : & N \to (N \to N) \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

Правила равенства для дополнений:

\begin{array}{lcl} я T е р я е Z & знак равно & я \\ я T е р я е (s U с с е) & знак равно & е (я T е р я е е) \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

\begin{array}{lcl} я T е р & : & A \to (A \to A) \to N \to A \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

$\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} п р е d^{'} & знак равно & λ К, я T е р (Z, Z) (λ (N, N^{'}), (s U с с N, N)) К \\ п р е d & знак равно & λ К, s N d (п р е d^{'} К) \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— Нил Кришнасвами
источник

Так что это меньше, чем полное по Тьюрингу в силу ограничения на типизированные комбинаторы? Могут ли переменные типа (рекурсивно) обозначать функции над переменными типа (например, A = D -> E для некоторых типов D и E)?

— NietzscheanAI

S

$S$

K

$K$

Нил, спасибо. Буду ли я прав, думая, что можно представить z, succ и iter в терминах S и K через цифровое кодирование Церкви?

— NietzscheanAI

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@Xoff: функция предшественника имеет хорошо известное определение линейного времени в терминах iter. Это может быть предметом вопроса на cs.stackexchange.com ...

— cody