Связь теорем Гёделя о неполноте к тезису Черча-Тьюринга

Это может быть наивный вопрос, но здесь идет. (Отредактируйте - это не вызывает голосов, но никто не предложил ответ; возможно, вопрос более сложный, неясный или неясный, чем я думал?)

Первая теорема Гёделя о неполноте может быть доказана как следствие неразрешимости проблемы остановки (например, Sipser Ch. 6; сообщение в блоге Скотта Ааронсона ).

Из того, что я понимаю (подтверждается комментариями), это доказательство не зависит от тезиса Черча-Тьюринга. Мы получаем противоречие, показывая, что в полной и непротиворечивой формальной системе машина Тьюринга может решить проблему остановки. (Если, с другой стороны, мы только что показали, что какая-то эффективная процедура могла бы решить проблему остановки, нам нужно было бы также принять тезис Черча-Тьюринга, чтобы получить противоречие.)

Таким образом, мы можем сказать, что этот результат обеспечивает некоторую интуитивную поддержку тезиса Черча-Тьюринга, поскольку он показывает, что ограничение машин Тьюринга подразумевает универсальное ограничение. (Сообщение в блоге Ааронсона, безусловно, поддерживает эту точку зрения.)

Мой вопрос заключается в том, можем ли мы получить что-то более конкретное, перейдя в обратном направлении: какое формальное значение имеют теоремы Геделя для тезиса Черча-Тьюринга? Например, кажется интуитивно возможным, что из первой теоремы о неполноте следует, что ни одна эффективная процедура не может определить, останавливается ли произвольная машина Тьюринга; можно рассуждать, что существование такой процедуры подразумевает способность построить полную $\omega$ согласованную теорию. Это верно? Есть ли какие-либо результаты в этом направлении?

(Я спрашиваю из любопытства - я сам не изучаю логику - поэтому я прошу прощения, если это общеизвестный или не исследовательский уровень. В таком случае, рассмотрите это как справочный запрос! Спасибо за любые комментарии или ответы !)

Вопрос, который звучит связанным, но не так: теорема Черча и теоремы Гёделя о неполноте

РЕДАКТИРОВАТЬ: Я постараюсь сделать вопрос более ясным! Во-первых, моя наивная интуиция заключается в том, что неполнота Гёделя должна подразумевать, по крайней мере, некоторые ограничения того, что является или не является вычислимым. Эти ограничения были бы безусловными, то есть они должны применяться ко всем моделям вычислений, а не только к машинам Тьюринга.

Так что мне интересно, если это так (должно быть какой-то смысл, верно?). Предполагая, что это так, мне очень любопытно, как это влияет на тезис Черч-Тьюринга - представление о том, что все, что можно эффективно вычислить, может быть вычислено машиной Тьюринга. Например, представляется возможным, что существование эффективной процедуры принятия решения о том, останавливается ли машина Тьюринга, противоречило бы первой теореме о неполноте. Этот результат продемонстрирует, что ни один из возможных методов вычисления не может быть «намного» более мощным, чем машины Тьюринга; но верен ли этот результат? У меня есть пара похожих вопросов в комментариях. Мне было бы очень интересно услышать ответ на один из этих вопросов, указатель на ответ в литературе, объяснение того, почему все мои рассуждения не основаны, или любые другие комментарии!

Вот философский ответ, который может вас развлечь.

Теоремы Гёделя о неполноте касаются формальной системы арифметики Пеано. Как таковые, они ничего не говорят о моделях вычислений, по крайней мере, без некоторой интерпретации.

Арифметика Пеано легко показывает существование невычислимых функций. Например, будучи классической теорией, достаточно выразительной, чтобы говорить о машинах Тьюринга, она показывает конкретный случай исключенного среднего, который говорит о том, что каждая машина Тьюринга останавливается или работает вечно. Тем не менее из работы Гёделя возникло важное понятие вычислимости, а именно понятие (примитивной) рекурсивной функции . Таким образом, к вычислимости подключаются не сами теоремы, а метод доказательства, который их устанавливает.

Суть теорем о неполноте может быть выражена в абстрактной форме с использованием логики доказуемости, что является разновидностью модальной логики. Это дает теорем неполноты широкий диапазон применимости далеко вне арифметики Пеано и вычислимости. Как только определенные принципы с фиксированной запятой удовлетворяются, возникает неполнота. Эти принципы с фиксированной запятой удовлетворяются традиционной теорией вычислимости, которая, следовательно, становится жертвой неполноты, под которой я подразумеваю существование неразделимых целых множеств. Поскольку доказуемые и опровержимые предложения арифметики Пеано образуют неразделимые целые множества, традиционные теоремы Гёделя о неполноте можно рассматривать как следствие явления неполноты вычислимости. (Я философски смутен, и твоя голова будет болеть, если ты попытаешься понять меня как математика.)

Я полагаю, что мы можем занять две позиции относительно того, как все это связано с неформальным понятием эффективности («вещи, которые на самом деле могут быть вычислены»):

1. Насколько нам известно, мы всего лишь довольно большой конечный автомат, способный созерцать вымышленных супергероев, называемых «машинами Тьюринга», которые способны вычислять с неограниченными числами (задыхаясь!). Если это так, Гедель был просто очень хорошим рассказчиком. То, как его истории переводятся в действенность, - это вопрос некоего (обязательно неточного) применения воображения к реальности.

2. Поскольку явления неполноты возникают естественным образом во многих контекстах и, безусловно, во всех разумных понятиях вычислимости, мы заключаем, что то же самое должно иметь место для эффективности. Например, предположим, что мы можем отправить машины Тьюринга в черные дыры, чтобы вычислить машины Тьюринга с бесконечным временем Джоэла Хамкина . Это дает нам огромную вычислительную мощность, в которой остановившийся оракул является игрушкой для детского сада. Но все же модель удовлетворяет основным условиям, которые позволяют нам показать существование вставных множеств. И поэтому еще раз, вычисления не всесильны, и неполнота - факт жизни.

Я хотел бы подчеркнуть комментарий Нила , основные инструменты для неразрешимости остановки и теоремы Гёделя о неполноте:

1. кодирование синтаксических понятий, таких как доказательства, вычисления и т. д., с помощью чисел / строк и отношений / функций над ними;
2. Теорема Годеля о неподвижной точке.

Сегодня кодирование синтаксических объектов и концепций может показаться очевидным, поскольку мы привыкли к цифровым компьютерам, но это гениальная идея, существенная для универсальных компьютеров и программного обеспечения. Все, что нужно для доказательства существования универсального симулятора, есть в его статье.

Годель также показывает, что мы можем представить эти синтаксические концепции и, как правило, вычисляемые отношения / функции TM с помощью простых арифметических формул.

Короче говоря, Геделя доказывает неполноту:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

Неразрешимость проблемы остановки для ТМ использует похожие ингредиенты:

1. $Halt(x)$$x$
2. $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

$Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

$T$$T$$T$

Доказательства очень похожи и используют те же ингредиенты (хотя для человека, который более знаком с ТМ, но не очень разбирается в логике, неразрешимость проблемы остановки может выглядеть проще: конкретный случай теоремы о неподвижной точке, использованный в доказательстве неразрешимости, может выглядеть проще, чем конкретный случай неподвижной точки используется в теореме Годеля, хотя они по сути одинаковы, но основные идеи - это просто кодирование синтаксических объектов и понятий с использованием чисел / строк и формул / функций о них, а также применение теоремы о неподвижной точке).

$O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

PS:
Обратите внимание, что теоремы Годеля были опубликованы в 1931 году, тогда как неразрешимость Тьюринга была опубликована в 1936 году. На момент публикации статьи Годеля ТМ не были определены, и Годель использовал другую эквивалентную модель. IIRC, Годель не был полностью удовлетворен своим результатом в качестве решения первоначальной цели программы Гильберта, потому что он не был убежден, что используемая им модель вычислений действительно захватила интуитивное понятие алгоритмической вычислимости, он был удовлетворен только после философского аргумента Тьюринга о захвате ТМ интуитивное понятие алгоритмической вычислимости. Я думаю, что вы можете прочитать больше об этом в сборнике работ Годеля.