Существуют ли промежуточные этические теории для лямбда-исчисления?

Есть две основные, изученные теории лямбда-исчисления, теория бета и его Постполное расширение, теория бета-эта.

Есть ли в этих двух теориях промежуточное, некое промежуточное правило, которое дает теорию переписывания слияния? Есть ли какое-то интересное понятие частичной экстенсиональности, которому оно соответствует?

Это второй вопрос, который я задал в поисках промежуточного этажа, предыдущим из которого было Расширение бета-теории лямбда-исчисления , что привело к вопросу об ортогональном понятии расширения, характеризующем невидимые эквивалентности с помощью правил слияния с перезаписью , который стремился уточнить ответ на этот предыдущий вопрос.

Для типизированных исчислений, если вы учитываете отрицательные типы ( , × , → ), вы можете включать или выключать правила eta в основном по желанию, не влияя на слияние.$1$$\times$$\to$

Для положительных типов (сумм и пар с исключением сопоставления с образцом) ситуация намного сложнее. По сути, вопрос заключается в том, имеет ли термин форму исключения с закрытой областью действия, которая позволяет контекстам сложным образом взаимодействовать с eta-расширениями. Например, если имеет тип A × B , то его ETA-разложение л е $e$$A \times B$ . Но чтобы получить теорию эквации, которую ожидает теоретик категорий, вам нужно рассмотреть контексты C [ - ] и обобщить уравнение так, чтобы оно было C [ e ] ≡ l e $\mathsf{let}\;(a,b) = e \;\mathsf{in}\; (a,b)$$\mathbb{C}[-]$ (с ожидаемыми ограничениями по объему).$\mathbb{C}[e] \equiv \mathsf{let}\;(a,b) = e\;\mathsf{in}\;\mathbb{C}[(a,b)]$

Я думаю, что вы все еще можете доказать результат слияния, если не разрешите коммутирующие преобразования. Но это слухи - я сам никогда не пробовал и не смотрел на документы, документирующие это.

Хотя я ничего не знаю о нетипизированном лямбда-исчислении.

РЕДАКТИРОВАТЬ: Чарльз спрашивает о Eta-сокращения. Это многообещающе для примера, который он ищет, потому что я думаю, что в целом они не будут достаточно сильны, чтобы моделировать теорию полного равенства, которую я проиллюстрирую на простом примере с булевыми значениями. Эта-разложение для логических выражений имеет вид . (Эта-редукция - это, конечно, другое направление.)$\mathbb{C}[e] \mapsto \mathsf{if}(e, \mathbb{C}[\mathsf{true}], \mathbb{C}[\mathsf{false}])$

Теперь рассмотрим термин . Показывает, что этот термин эквивалентен i f ( e , $\mathsf{if}(e, f, g)\;\mathsf{if}(e, x, y)$ должно пройти через это-расширение, потому что мы должны заменить е в одном из If-Then-ELSES с T R ¯u е и ф L сек е для тогочтобы вбить & beta ; -уменьшение. $\mathsf{if}(e, f\;x, g\;y)$$e$$\mathsf{true}$$\mathsf{false}$$\beta$

Согласно Джону С. Митчелу в Основах языков программирования, как в STLC, так и в нетипизированном лямбда-исчислении, правило редукции pair (proj₁ P, proj₂ P) → Pнарушает слияние, когда комбинируется с fixредукцией (или, я полагаю, из рассмотрения доказательства), без таких условий для нетипизированного случая. Это теорема 4.4.19 (стр. 272).