Существуют ли неконструктивные доказательства существования алгоритма?

Я помню, что я мог столкнуться со ссылками на проблемы, которые, как было доказано, разрешимы с определенной сложностью, но без какого-либо известного алгоритма, чтобы фактически достичь этой сложности.

Я изо всех сил стараюсь понять, как это может быть; как будет выглядеть неконструктивное доказательство существования алгоритма.

Есть ли на самом деле такие проблемы? У них много практической ценности?

Рассмотрим функцию (взято отсюда )

$\qquad \displaystyle f(n) = \begin{cases} 1 & 0^n \text{ occurs in the decimal representation of } \pi \\ 0 & \text{else}\end{cases}$

Несмотря на внешний вид, вычислима по следующему аргументу. Или$f$

1. встречается для каждого n или$0^n$$n$
2. существует так что 0 k встречается, а 0 k + 1 - нет.$k$$0^k$$0^{k+1}$

Мы не знаем, что это (пока), но мы знаем, что с$f \in F = \{f_\infty, f_0, f_1, \dots \}$

1. и$f_\infty(n) = 1$
2. .$f_k(n) = [n \leq k]$

Поскольку , f вычислимо - но мы не можем сказать, что такое f .$F \subset \mathsf{RE}$$f$$f$

Возможно, это не совсем то , что вы имеете в виду, но оптимальный алгоритм минимального связующего дерева Сета Петти и Виджая Рамачандран в некотором смысле неконструктивен.

Остается открытым вопрос, существует ли детерминированный алгоритм для вычисления минимальных остовных деревьев за линейное (что означает ) время. Петти и Рамачандран описывают алгоритм, который вычисляет MST за линейное время, если такой алгоритм существует .$O(n+m)$

Интуитивно, их алгоритм уменьшает любую -vertex экземпляра задачи MST к O ( п / K ) меньшим случаям с O ( K ) вершинами в линейное время, где (скажу) к = O ( журнал журнал журнал журнал журнал журнал журнал п ) , Затем они вычисляют оптимальное дерево сравнения, которое вычисляет минимальное остовное дерево любого графа k- вершин путем перебора методом грубой силы; даже если это занимает в пять раз экспоненциальное время в к , это только $n$$O(n/k)$$O(k)$$k = O(\log\log\log\log\log\log\log n)$$k$$k$ время. Наконец, они решают небольшие случаи, используя это оптимальное дерево решений.$O(\log\log n)$

Другими словами, Петти и Рамачандран строят оптимальный алгоритм MST только косвенно, создавая алгоритм, который создает оптимальный алгоритм MST.

Вот два примера.

1. Некоторые алгоритмы, использующие теорему Робертсона-Сеймура . Теорема утверждает, что в каждом случае существует конечное препятствие, но не дает возможности найти такое конечное множество. Следовательно, хотя мы можем доказать, что алгоритм существует, явное утверждение алгоритма будет зависеть от конечного набора препятствий, который мы не знаем, как найти. Другими словами, мы знаем, что есть алгоритм, но мы еще не знаем, как его найти.

2. Более сильный пример, хотя и менее естественный, по существу, использует PEM или подобные неконструктивные аксиомы. Это сильнее в том смысле, что мы можем доказать, что конструктивное существование алгоритма подразумевает неконструктивную аксиому (аналогично слабым контрпримерам Брауэра ). Такой пример более силен, потому что он говорит не только о том, что мы сейчас не знаем ни одного явного алгоритма (или какого-либо алгоритмического способа его нахождения), но и о том, что на это нет надежды.

   В качестве примера, мы можем использовать PEM, чтобы доказать, что алгоритм существует, в то время как мы не знаем, какой из них, а конструктивный способ его нахождения подразумевает неконструктивную аксиому. Позвольте мне привести простой пример:

   Проблема остановки тривиально разрешима для каждой фиксированной машины Тьюринга (каждая TM либо останавливается, либо не останавливается, и в каждом случае есть TM, которая выводит правильный ответ), но как мы можем найти алгоритм, решающий проблему правильно, без решения ( единая версия) проблема остановки?

   Более формально, мы не можем доказать конструктивно , что дано ТМ существует ТМ H T , который решает проблемы остановки для M . Более формально, следующее утверждение не может быть доказано конструктивно:$M$$H_T$$M$

   $$\forall e\in \mathbb{N} \ \exists f\in \mathbb{N} \ \left[ (\{f\}( \ )=0 \land \{e\}\mathord{\downarrow}) \lor (\{f\}( \ )=1 \land \{e\}\mathord{\uparrow}) \right]$$

   Здесь - это TM с кодом e (в некотором фиксированном представлении TM), { e } ↓ означает, что { e } останавливается, а { f } ↑ означает, что { f } не останавливается.$\{e\}$$e$$\{e\}\mathord{\downarrow}$$\{e\}$$\{f\}\mathord{\uparrow}$$\{f\}$

Да.

В одной точке в (1) теорема дихотомии о гомоморфизме графа счета с комплексным весом для любого конечного размера области, Cai, Chen и Lu, только доказывает существование сокращения за полиномиальное время между двумя задачами счета посредством полиномиальной интерполяции. Я не знаю никакой практической ценности для такого алгоритма.

Смотрите Раздел 4 версии arXiv. Лемма, о которой идет речь, - это лемма 4.1, называемая «первой леммой пиннинга».

Один из способов сделать это доказательство конструктивным - доказать комплексно-взвешенную версию результата Ловаша , а именно:

Для всех , Z H ( G , w , i ) = Z H ( G , w , j ), если существует автоморфизм f группы G такой, что f ( i ) = j .$G$$Z_H(G, w, i) = Z_H(G, w, j)$$f$$G$$f(i) = j$

Здесь - вершина в H , i и j - вершины в G , а Z H ( G , w , i ) - сумма по всем комплексно-взвешенным гомоморфизмам графа из G в H с дополнительным ограничением, что я должен отображаться в ж .$w$$H$$i$$j$$G$$Z_H(G, w, i)$$G$$H$$i$$w$

(1) Джин-Йи Цай, Си Чен и Пиньян Лу. Графовые гомоморфизмы с комплексными значениями: теорема о дихотомии ( arXiv ) ( ICALP 2010 )

Некоторые ранние результаты с конца 80-х годов:

• Fellows and Langston, " Неконструктивные инструменты для доказательства разрешимости за полиномиальное время ", 1988

• Браун, стипендиаты, Лэнгстон, " Самосовместимость за полиномиальное время: теоретические мотивы и практические результаты ", 1989 г.

Из аннотации второго пункта:

Однако недавние фундаментальные достижения в теории графов сделали доступными новые мощные неконструктивные инструменты, которые можно применять для гарантии членства в P. Эти инструменты неконструктивны на двух разных уровнях: они не создают алгоритм принятия решения, устанавливая только конечность набора препятствий. и при этом они не показывают, может ли такой алгоритм решения оказать какую-либо помощь в построении решения. Мы кратко рассмотрим и проиллюстрируем использование этих инструментов, а также обсудим, казалось бы, сложную задачу поиска обещанных алгоритмов принятия решений за полиномиальное время при применении этих новых инструментов.

Пример бесконечного семейства проблем (сомнительной практической ценности), для которых мы можем показать:

1. Что для каждой проблемы существует алгоритм ее решения.
2. Что нет способа построить эти алгоритмы (в общем).

$M$

$L_{M}=\Bigl\{\langle M'\rangle \;\Big|\;\; L(M)=L(M') \text{ and } |\langle M\rangle| \geq | \langle M' \rangle| \Bigr\}$

1. $M$

2. $P$$M$$P(\langle M \rangle)$$L_M$$M$$M'$$|\langle M \rangle | \geq |\langle M' \rangle|$$P(\langle M \rangle)(\langle M' \rangle)$$P$

Из «Заметки к лекции« Теория двумерности »и« Алгоритмический график »для учебника Мохаммада Таги Гаджиагайи, написанной Марейке Массов, Йенсом Шмидтом, Дарьей Шимурой и Сиамаком Тазари.

Каждое свойство минор-замкнутого графа можно охарактеризовать конечным набором запрещенных миноров.

К сожалению, их результат «по своей сути» неконструктивен, т. Е. Не существует алгоритма, который обычно мог бы определить, какие миноры следует исключить для данного свойства второстепенного графа. Кроме того, число запрещенных несовершеннолетних может быть большим: например, для графов, встраиваемых в тор, известно более 30 000 запрещенных несовершеннолетних, но список не полный.

[...]

Каждое второстепенное свойство графа может быть определено за полиномиальное время (даже в кубическом времени).

Алгоритмическая локальная лемма Ловаша - «алгоритмическая локальная лемма Ловаша дает алгоритмический способ построения объектов, которые подчиняются системе ограничений с ограниченной зависимостью. ... Однако лемма неконструктивна в том смысле, что она не дает никакого представления о том, как чтобы избежать плохих событий ". При некоторых предположениях / ограничениях на распределение построенный алгоритм дан Мозером / Тардосом [1]. локальная лемма Ловаша, похоже, имеет различные глубокие связи с теорией сложности, например, см. [2]

[1] Мозер, Тардос, Конструктивное доказательство общей локальной леммы Ловаша.

[2] Ловма Ловаша и локальная лемма и удовлетворенность. Гебауэр, Мозер, Шедер, Вельцль