Каков наихудший случай алгоритма рандомизированной инкрементной триангуляции Делоне?

Я знаю, что ожидаемое время выполнения алгоритма рандомизированного инкрементального инкрементального триангуляции Делоне (как указано в « Вычислительной геометрии» ) составляет . Существует упражнение, которое подразумевает, что наихудший вариант выполнения - . Я попытался построить пример, где это действительно так, но пока не удалось.$\mathcal O(n \log n)$$\Omega(n^2)$

Одна из этих попыток состояла в том, чтобы упорядочить и упорядочить набор точек таким образом, чтобы при добавлении точки на шаге создавалось около ребер .$p_r$$r$$r-1$

Другой подход может включать структуру расположения точек: расположить точки так, чтобы путь, пройденный в структуре размещения точек для определения местоположения точки на шаге был как можно более длинным.$p_r$$r$

Тем не менее, я не уверен, какой из этих двух подходов является правильным (если вообще есть), и был бы рад некоторым подсказкам.

Первый подход может быть формализован следующим образом.

Позволять $P$ быть произвольным набором $n$ указывает на положительную ветвь параболы $y=x^2$; это,

$$P = \{ (t_1, t_1^2), (t_2, t_2^2), \dots, (t_n, t_n^2) \}$$ для некоторых положительных действительных чисел $t_1, t_2, \dots, t_n$, Без ограничения общности предположим, что эти точки проиндексированы в порядке возрастания:$0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n$,

Утверждение: в триангуляции Делоне$P$крайняя левая точка $(t_1, t_1^2)$ сосед любой другой точки в $P$,

Это утверждение подразумевает, что добавление нового пункта $(t_0, t_0^2)$ в $P$ с $0 < t_0 < t_1$ адды $n$новые ребра в триангуляции Делоне. Таким образом, индуктивно, если мы постепенно сокращаем триангуляцию Делоне$P$вставляя точки в порядке справа налево , общее количество созданных ребер Делоне составляет$\Omega(n^2)$,

---

Мы можем доказать это утверждение следующим образом. Для любых реальных ценностей$0<a<b<c$, позволять $C(a,b,c)$ обозначим уникальный круг через точки $(a,a^2), (b,b^2), (c,c^2)$,

Лемма: $C(a,b,c)$ не содержит никакой точки $(t,t^2)$ где $a<t<b$ или $c<t$,

Доказательство: напомним, что четыре очка$(a,b), (c,d), (e,f), (g,h)$ коциркулярны тогда и только тогда, когда

$$\begin{vmatrix} 1 & a & b & a^2 + b^2 \\ 1 & c & d & c^2 + d^2 \\ 1 & e & f & e^2 + f^2 \\ 1 & g & h & g^2 + h^2 \\ \end{vmatrix} = 0$$ Таким образом, точка $(t,t^2)$ лежит на круге $C(a,b,c)$ если и только если $$\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 & a^2 + a^4 \\ 1 & b & b^2 & b^2 + b^4 \\ 1 & c & c^2 & c^2 + c^4 \\ 1 & t & t^2 & t^2 + t^4 \\ \end{vmatrix} = 0$$ Нетрудно (например, спросить Wolfram Alpha) расширить и $4\times4$ определитель в следующей форме: $$(a-b)(a-c)(b-c)(a-t)(b-t)(c-t)(a+b+c+t) = 0 \tag{$*$}$$ Таким образом, $(t,t^2)$ лежит на $C(a,b,c)$ если и только если $t=a$, $t=b$, $t=c$, или $t=-a-b-c < 0$, Более того, потому что$0<a<b<c$эти четыре корня различны, что означает, что парабола фактически пересекает $C(a,b,c)$в этих четырех точках. Это следует из того$(t,t^2)$лежит внутри $C(a,b,c)$ если и только если $-a-b-c<t<a$ или $b<t<c$,$\qquad\Box$