Можно ли использовать случайные ограничения для получения нижней границы для

Существует несколько хорошо известных результатов оценки нижнего предела размера схемы основанных на случайных ограничениях и лемме о переключении . $\mathsf{AC^0}$

Можем ли мы разработать результат леммы о переключении, чтобы доказать нижнюю оценку размера для цепей (аналогично нижним оценкам для )? $\mathsf{TC^0}$ $\mathsf{AC^0}$

Или есть какое-то существенное препятствие для использования этого подхода для доказательства нижних границ ? $\mathsf{TC^0}$

Говорят ли какие-либо барьерные результаты, такие как Natural Proofs , об использовании методов, подобных лемме о переключении, для доказательства нижних границ? $\mathsf{TC^0}$

— Jeigh
источник

Вы знакомы с доказательством переключения леммы для

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— Каве

Я прочитал главу о нижних границах учебника Арора. Во-первых, преобразуйте любой контур постоянной глубины в схему без вентилей НЕ с чередованием слоев И-ИЛИ, а во-вторых, используя лемму переключения, переключите эти два слоя, в конце концов мы получим верхнюю часть схемы, а второй уровень - это те же вентили И (или ИЛИ) таким образом, мы можем лишить схему одного слоя, перерисовав глубину контура.

— Jeigh

Тем не менее, это не проще, чем логический случай, чтобы наблюдать вывод гейта, когда мы фиксируем несколько значений входов (в логическом случае мы фиксируем около квадратного корня n входов). И ворота, и ИЛИ ворота - это экстремальный вариант ворот порога и очень легко наблюдать влияние ограничений.

— Jeigh

Идея техники случайных ограничений заключается в том, что попадание

в результате случайного ограничения становится проще (фактически постоянным) с ненулевой вероятностью при сохранении достаточного количества свободных переменных. В отличие от

ворот, один

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

\land

$\land$

\lor

$\lor$

ворота, пораженные случайным ограничением, все равно вычисляют

\mod p

$\mod p$

ворота на входах меньшего размера и не станет проще.

\mod p

$\mod p$

— Каве

Отметим также, что случайные ограничения и лемма о переключении являются одним из основных примеров естественных доказательств. В любом случае, надеюсь, эксперт по сложности схем выложит более полный ответ. PS: Я взял на себя смелость переписать вопрос, не стесняйтесь отменить, если вам не нравится мое редактирование.

— Каве

На самом деле можно использовать случайные ограничения, чтобы доказать нижние оценки для пороговых цепей.

В частности, в статье « Соотношение размера и глубины для пороговых цепей» Impagliazzo, Paturi и Saks используют случайные ограничения, чтобы доказать нижнюю границу суперлайнера (по числу проводов) для цепей пороговых значений постоянной глубины, вычисляя функцию четности.

$\mathsf{TC}^0$ $\mathsf{TC}^0$

— Кристоффер Арнсфельт Хансен
источник

См. Также недавнюю работу Дэниэла Кейна и Райана Уильямса, Нижние границы суперлинейных затворов и суперквадратичных проводов для пороговых цепей глубины 2 и 3 (STOC 2016).

Райан описывает статью следующим образом (следующее описание взято с его домашней страницы):

Мы даем явную функцию в для которой каждому большинству линейных пороговых схем глубины два (с неограниченными весами) нужно около $\mathsf{PP}$ $n^{1.5}$ $n^{2.5}$ $O(n)$

— Юваль Фильмус
источник