Схема нижних границ и колмогоров сложности

Рассмотрим следующие рассуждения:

Пусть обозначим сложность Колмогорова из строки . Теорема Чайтена о неполноте гласит, что$K(x)$$x$

для любой последовательной и достаточно сильной формальной системы , существует постоянную (зависящую только от формальной системы и ее языка), что для любых строк , не может доказать , что .T x S K ( x ) ≥ $S$$T$$x$$S$$K(x) \geq T$

Пусть - булева функция от переменных, а колмогоровская сложность ее спектра не больше . Пусть будет сложностью схемы , то есть размером минимальной схемы, вычисляющей . н к с ( ф н ) ф н ф $f_n$$n$$k$$S(f_n)$$f_n$$f_n$

(Грубая) верхняя граница для равна S ( f n ) ≤ c ⋅ B B ( k ) ⋅ n для константы c, а B B ( k ) - функция занятого бобра (максимально возможные шаги a остановка машины Тьюринга с описанием размера k может выполнить). (Для каждого 1 в спектре постройте минтерм соответствующего присвоения истины и возьмите ИЛИ из всех этих минтермов вместе.)$S(f_n)$

Предположим теперь, что для бесконечного семейства булевых функций мы имеем формальное доказательство того, что L требует схем с суперлинейным размером, т.е.$L = \{f_n\}_{n}$$L$

где g ( n ) ∈ ω ( 1 ) .

Если мы возьмем достаточно большим, мы будем иметь g ( n ) > c ⋅ B B ( T $n$

В частности, это было бы доказательством того, что колмогоровская сложность спектра функции не меньше T , что невозможно.$f_n$$T$

Это приводит к двум вопросам:

1) Должно быть что-то не так в рассуждениях выше. Главным образом потому, что это сделало бы нижние границы суперлинейной схемы формально не доказуемыми.

2) Знаете ли вы о похожих подходах для демонстрации барьеров для нижних границ, то есть, показывающих, что определенные типы (контуров) нижних границ формально недоказуемы?

$N$$f_n$$T$$N$$N>g^{-1}(c \cdot BB(T))$$BB$

$A(k)$$K(A(k)) \geq k$$k$$K(A(k)) \geq k$

$BB(T)$

$\alpha(k)$$k$$\alpha(k)$$K(0^{\alpha(k)+1}) > k$