Расширение моделей лямбда-исчисления

Я перевожу книгу на LISP и, естественно, она затрагивает некоторые элементы калькуляции. Таким образом, понятие экстенсиональности упоминается там наряду с некоторыми моделями вычисления, а именно: и (да, с бесконечностью вверху). И говорят, что экстенсиональна, а нет. $\lambda$ $\lambda$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$ $\mathcal{P}_\omega$ $D^\infty$

Но ... Я просматривал лямбда-исчисление Барендрегта , его синтаксис и семантику и (надеюсь, правильно) прочитал с точностью до наоборот: не экстенсиональный, есть. $\mathcal{P}_\omega$ $D_\infty$

Кто-нибудь знает об этой странной модели ? Может ли это быть той же моделью, что и , но ошибочно написана? Прав ли я по поводу расширенности моделей? $D^\infty$ $D_\infty$

Спасибо.

— Крис
источник

Не могли бы вы дать контекст для книги LISP? У него есть ссылки на результаты или модели, на которые он ссылается?

— Коди

Да, это LISP Кристиана Квиннека в маленьких пьесах , с. 153. Отрывок с упоминанием: [...] С тех пор свойства были расширены несколькими различными способами, создав несколько разных моделей:

или

в [Sco76, Sto77]. [...] Как ни странно,

является экстенсиональным, потому что две функции, которые вычисляют одно и то же в каждой точке, равны, а

не экстенсиональный. [...] Sco76 обозначает типы данных Даны Скоттс как решетки . Sto77 расшифровывается как денотационная семантика Джозефа Стоя : подход Скотта-Стачи к теории языка программирования .

D^{\infty}

$D^\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

P_{ω}

$P_\omega$

D^{\infty}

$D^\infty$

— Крис

Благодаря! В этом случае вполне вероятно, что произошла опечатка, что

обозначает

и что

не является экстенсиональным.

D^{\infty}

$D^\infty$

D_{\infty}

$D_\infty$

P_{ω}

$P_\omega$

— Коди

Я предполагаю, что под экстенсиональностью вы подразумеваете закон Если это то, что вы имеете в виду, то модель графа неявляетсяэкстенсиональной, в то время как Даны Скоттаесть (я предполагаю, что является моделью Даны Скотта исчисления).

(\forall x . f x = g x) ⟹ f = g,

$(\forall x . f x = g x) \implies f = g.$

P ω

$\mathcal{P}\omega$

D_{\infty}

$D_\infty$

D^{\infty}

$D^\infty$

β ξ η λ

$\beta\xi\eta\lambda$

Чтобы увидеть это, напомним, что является алгебраической решеткой со свойством того, что ее пространство непрерывных отображений является собственным ретрактом , т. Е. Существуют непрерывные отображения и такое, что но $\mathcal{P}\omega$ $[\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$ $\mathcal{P}\omega$

Λ : п ω \to [п ω \to п ω]

$\Lambda : \mathcal{P}\omega \to [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega]$

Γ : [п ω \to п ω] \to п ω

$\Gamma : [\mathcal{P}\omega \to \mathcal{P}\omega] \to \mathcal{P}\omega$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

. Для

приложение

интерпретируется как

. Теперь возьмем

, что

но

(они существуют, потому что

). Тогда для всех

мы имеем

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

u, v \in P ω

$u, v \in \mathcal{P}\omega$

u v

$u v$

Λ (u) (v)

$\Lambda(u)(v)$

u

$u$

u^{'}

$u'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

Λ (u) = Λ (v)

$\Lambda(u) = \Lambda(v)$

Γ \circ Λ \neq i d

$\Gamma \circ \Lambda \neq \mathrm{id}$

v

$v$

все же

. Экстенсиональность нарушена.

u v = u v^{'}

$u v = u v'$

u \neq u^{'}

$u \neq u'$

$[D_\infty \to D_\infty]$ $D_\infty$

Λ : D_{\infty} \to [D_{\infty} \to D_{\infty}]

$\Lambda : D_\infty \to [D_\infty \to D_\infty]$

Γ : [D_{\infty} \to D_{\infty}] \to D_{\infty}

$\Gamma : [D_\infty \to D_\infty] \to D_\infty$

u, u^{'} \in D_{\infty}

$u, u' \in D_\infty$

u v = u^{'} v

$u v = u' v$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) (v) = Λ (u^{'}) (v)

$\Lambda(u)(v) = \Lambda(u')(v)$

v \in D_{\infty}

$v \in D_\infty$

Λ (u) = Λ (u^{'})

$\Lambda(u) = \Lambda(u')$

u = Γ (Λ (u)) = Γ (Λ (u^{'})) = u^{'}

$u = \Gamma(\Lambda(u)) = \Gamma(\Lambda(u')) = u'$

$\Gamma \circ \Lambda = \mathrm{id}$ $\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$ $\lambda$

λ Икс, U (Икс) знак равно Γ (v \mapsto U (v))

$\lambda X. u(X) = \Gamma (v \mapsto u(v))$

u (X)

$u(X)$

X

$X$

v

$v$

u (v)

$u(v)$

λ

$\lambda$

λ X . u (X)

$\lambda X . u(X)$

Γ

$\Gamma$

Λ \circ Γ = i d

$\Lambda \circ \Gamma = \mathrm{id}$

(λ Икс, U (Икс)) вес знак равно Λ (Γ (v \mapsto U (v))) (вес) знак равно (v \mapsto U (v)) (вес) знак равно U (вес)

$(\lambda X . u(X)) w = \Lambda (\Gamma (v \mapsto u(v))) (w) = (v \mapsto u(v))(w) = u(w)$

β

$\beta$

— Андрей Бауэр
источник

Большое спасибо. Итак, я предполагаю, что в книге есть фактическая ошибка. Это может быть возможно, потому что сама книга является переводом с французского, и в этом абзаце оригинальной книги могут быть некоторые махинации с двойным отрицанием или что-то в этом роде. К сожалению, у меня нет французского, чтобы хотя бы попытаться проверить.

— Крис

Французский не имеет значения, у вас есть доказательство перед вашими глазами.

— Андрей Бауэр

λ

$\lambda$