Теория реализуемости: разница в мощности между лямбда-исчислением и машинами Тьюринга

У меня есть три связанных подвопроса, которые выделены пунктами ниже (нет, их нельзя разделить, если вам интересно). Андрей Бауэр писал здесь , что некоторые функции реализуются через машину Тьюринга, но не через лямбда-исчисление. Ключевой шаг его рассуждений:

Однако, если мы используем лямбда-исчисление, то [программа] c должна вычислять число, представляющее машину Тьюринга, из лямбда-члена, представляющего функцию f. Это невозможно сделать (я могу объяснить почему, если вы зададите это как отдельный вопрос).

• Я хотел бы видеть объяснение / неофициальное доказательство.

Я не вижу, как применить теорему Райса здесь; это применимо к проблеме «эта машина Тьюринга T и этот лямбда-член L эквивалентны?», потому что применение этого предиката к эквивалентным терминам дает один и тот же результат. Однако требуемая функция может вычислять разные, но эквивалентные ТМ для разных, но эквивалентных лямбда-терминов.

• Более того, если проблема заключается в самоанализе лямбда-члена, я думаю, что передача кодировки Лямбды-члена Гёделя также была бы приемлемой, не так ли?

С одной стороны, учитывая, что его пример включает вычисление в лямбда-исчислении числа шагов, необходимых машине Тьюринга для выполнения данной задачи, я не очень удивлен.

• Но поскольку здесь лямбда-исчисление не может решить проблему, связанную с машиной Тьюринга, мне интересно, можно ли определить аналогичную проблему для лямбда-исчисления и доказать, что она не разрешима для машин Тьюринга, или на самом деле существует разница в мощности в пользу Машины Тьюринга (что бы меня удивило).

У Джона Лонгли есть очень обширная обзорная статья, в которой обсуждаются связанные с этим вопросы «Понятия вычислимости в старших типах» .

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N}$

Чтобы полностью определить модель вычисления более высокого типа, нам нужно указать соглашение о вызовах для функций, чтобы позволить одной функции вызывать другую функцию, которую она получает в качестве аргумента. В лямбда-исчислении стандартное соглашение о вызовах состоит в том, что мы представляем функции лямбда-терминами, и единственное, что вы можете сделать с лямбда-выражением в лямбда-исчислении, - это применить его. В типичных кодировках на машинах Тьюринга мы передаем функции в качестве аргументов, исправляя определенную кодировку Гёделя, а затем строки, представляющие индекс машины, которую вы хотите передать в качестве аргумента.

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$n$

Стоит отметить, что для более высоких типов, если язык менее выразителен в одном порядке, он более выразителен на один порядок вверх, потому что функции контравариантны. Точно так же есть функции, которые вы можете написать в LC, что вы не можете с кодировкой в ​​стиле ТМ (потому что они основаны на том факте, что вы можете передавать функциональные аргументы и знать, что получатель не может заглянуть внутрь функции, которую вы ему даете) ,

РЕДАКТИРОВАТЬ: Вот пример функции, определяемой в PCF, но не в кодировках TM + Goedel. Я объявлю isAlwaysTrueфункцию

 isAlwaysTrue : ((unit → bool) → bool) → bool

который должен возвращать true, если его аргумент игнорирует свой аргумент и всегда возвращает true, должен возвращать false, если его аргумент возвращает false на любых входах, и входит в цикл, если его аргумент входит в цикл на любых входах. Мы можем довольно легко определить эту функцию следующим образом:

isAlwaysTrue p = p (λ(). true) ∧ p (λ(). false) ∧ p (λ(). ⊥)

где ⊥вычисление цикла, а ∧также оператор and для логических значений. Это работает, потому что unit → boolв PCF всего три жителя , и поэтому мы можем их полностью перечислить. Однако в модели стилей кодирования ТМ + Геделя pможно было бы проверить, сколько времени потребуется его аргументу, чтобы вернуть ответ, и на основании этого вернуть разные ответы. Таким образом, реализация isAlwaysTrueс ТМ не будет соответствовать спецификации.

Что сказал Нил, а также следующее.

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$\lambda$$\lambda$

$\lambda$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

$\lambda$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$\mathtt{app}$$\overline{n}$$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$f(k)$$\mathtt{app} \; \overline{n} \; \overline{k}$$\overline{n}$$n$$\mathtt{app}$$\lambda$

$X$$f : X \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$t$$\tilde{f} : X \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N})$$\lambda$$s$$X$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$f$$\tilde{f}$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$\lambda$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$

$X$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$\lambda$$X$$X$