вычисление минимального NFA для DFA

Много лет назад я слышал, что вычисление минимального NFA (недетерминированного конечного автомата) из DFA (детерминированного) было открытым вопросом, в отличие от обратного направления, которое было известно в течение десятилетий и хорошо исследовано с эффективным алгоритм. Кто-нибудь придумал алгоритм?$O(n \lg n)$

Быстрый поиск дал мне этот документ, который доказывает, что это определенно трудная проблема. По-видимому, алгоритм не приводится.

[1] Минимальные проблемы НФА трудны / Тао Цзян и Б. Равикумар

Мне напомнили об этой проблеме следующий вопрос на сайте CS.SE, для которого алгоритм минимизации DFA-> NFA будет тесно связан. Этот следующий вопрос кажется мне исследовательским уровнем. Я предложил перенести его в TCS и написал ответ, предлагающий статистическую / эмпирическую атаку.

[2] Какие условия для NFA для его эквивалентного DFA быть максимальным по размеру?

Это действительно упрямая и хорошо изученная проблема. Что касается положительных результатов, точный алгоритм Kameda и Weiner, эвристический подход Polák и недавний подход с использованием SAT-решателей Geldenhuys et al. приходит на ум. Но, как представляется, гораздо более негативные результаты исключают другие возможные подходы (например, алгоритмы аппроксимации, особые случаи, менее мощные модели NFA, ...). Ниже приведены некоторые ссылки.

Т. Камеда и П. Вайнер. О минимизации состояния недетерминированных конечных автоматов. Операции IEEE на компьютерах, C-19 (7): 617–627, 1970.

А. Малчер. Минимизация конечных автоматов сложна в вычислительном отношении. Теоретическая информатика 327: 375-390, 2004.

Л. Полак. Минимализации NFA с использованием универсального автомата. Международный журнал основ информатики, 16 (5): 999–1010, 2005.

Г. Грамлич и Г. Шнитгер. Минимизация NFA и регулярных выражений. Симпозиум по теоретическим аспектам информатики (STACS 2005), LNCS 3404, с. 399–411.

Х. Грубер и М. Хольцер. Неподходимость недетерминированного состояния и сложность перехода в предположении P <> NP. Развитие теории языка (DLT 2007), LNCS 4588, с. 205–216.

Х. Грубер и М. Хольцер. Вычислительная сложность минимизации NFA для конечных и унарных языков. Теория языка и автоматов и приложения (LATA 2007), с. 261–272.

Х. Бьёрклунд и В. Мартенс. Граница управляемости для минимизации NFA. Международный коллоквиум по автоматам, языкам и программированию (ICALP 2008), LNCS 5126, с. 27–38.

J. Geldenhuys, B. van der Merwe, L. van Zijl: Сокращение недетерминированных конечных автоматов с помощью SAT Solvers.Методы конечных состояний и обработка естественного языка (FSMNLP 2009), LNCS 6062, 81–92.

РЕДАКТИРОВАТЬ (8 июня 2015 г.)

Обновление: в следующей статье представлен эвристический алгоритм уменьшения размера недетерминированных автоматов Бючи, а также эксперименты на случайных автоматах. Как говорится в заключении, их метод применим и к NFA: «Хотя мы представили наши методы в контексте автоматов Büchi, большинство из них тривиально переносятся на более простой случай автоматов над конечными словами».

Ричард Майр, Лоренцо Клементе. Усовершенствованная минимизация автоматов. POPL 2013. Расширенный технический отчет EDI-INF-RR-1414.

Их инструмент командной строки Reduce v1.2 может быть вызван с опцией «-finite» для уменьшения данного NFA. Реализация с открытым исходным кодом и выпущена в соответствии с GNU General Public License.