Каковы условия для NFA, чтобы его эквивалентный DFA был максимальным по размеру?

Мы знаем, что DFAs эквивалентны NFAs в силе выразительности; Существует также известный алгоритм для преобразования NFA в DFA (к сожалению, я теперь знаю изобретателя этого алгоритма), который в худшем случае дает нам состояния, если у нашего NFA было состояний. $2^S$ $S$

Мой вопрос: что определяет наихудший сценарий?

Вот транскрипция алгоритма в случае неоднозначности:

Пусть - NFA. Построим DFA где $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $A' = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$

, $Q' = \mathcal{P}(Q)$
, $F' = \{S \in Q' | F \cap S \neq \emptyset \}$
, и $\delta'(S,a) =\bigcup_{s \in S} (\delta(s,a) \cup \hat \delta(s,\varepsilon))$
, $q'_0 = \{q_0\} \cup \hat \delta(q_0, \varepsilon)$

где является расширенной функцией переходов . $\hat\delta$ $A$

— Daniil
источник

в комментариях говорится, что вы можете спасти этот вопрос, попросив «минимальный» NFA для DFA (открытая проблема). Я всегда думал, что эта проблема тесно связана с вопросом о P =? NP по-разному и имеет некоторые похожие формулировки, которые предполагают это. это похоже на то, что вы спрашиваете о «сжимаемых» и «несжимаемых» DFA, где «несжимаемое» является наихудшим случаем, так что минимальный NFA - почти размер DFA. Вероятно, существует некоторая теорема, например, что «большинство DFA, взятых случайным образом, несжимаемы [в NFA]», так как в теории информации есть аналогичные понятия, касающиеся сложности строк и т. д.

— vzn

Ответы:

Алгоритм, на который вы ссылаетесь, называется Powerset Construction и был впервые опубликован Майклом Рабином и Даной Скотт в 1959 году.

Чтобы ответить на ваш вопрос, как указано в заголовке, не существует максимального DFA для обычного языка, поскольку вы всегда можете взять DFA и добавить столько состояний, сколько хотите, с переходами между ними, но без переходов между одним из исходных состояний. и один из новых. Таким образом, новые государства не будут достижимы из начального состояния , так что язык , принимаемый автоматом не изменится (так как будет оставаться одинаковой для всех ). $q_0$ $\hat\delta(q_0,w)$ $w\in\Sigma^*$

Тем не менее, ясно, что на NFA не может быть условий для того, чтобы его эквивалентный DFA был максимальным, поскольку не существует уникального эквивалентного DFA. Напротив, минимальный DFA уникален с точностью до изоморфизма.

Каноническим примером языка, принятого NFA с состояниями с эквивалентным DFA из состояний, является НКА для является $n+1$ $2^n$

L = {w \in {0, 1}^{*} : | w | \geq n and the n -th symbol from the last one is 1} .

$L=\{w\in\{0,1\}^*:|w|\geq n\text{ and the $n$-th symbol from the last one is 1}\}.$

L

$L$

, где

для

A = ⟨ Q, {0, 1}, δ, q_{0}, {q_{n + 1}} ⟩

$A=\langle Q,\{0,1\},\delta,q_0,\{q_{n+1}\}\rangle$

δ (q_{0}, 0) = {q_{0}}

$\delta(q_0,0)=\{q_0\}$

δ (q_{0}, 1) = {q_{0}, q_{1}}

$\delta(q_0,1)=\{q_0,q_1\}$

δ (q_{i}, 0) = δ (q_{i}, 1) = {q_{i + 1}}

$\delta(q_i,0)=\delta(q_i,1)=\{q_{i+1}\}$

. DFAрезультате применения конструкции POWERSET к этому NFA будет иметь

состояний, потому что вы должны представлять все

слов длины

как суффиксы слова в

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

L

$L$

— Janoma
источник

Кстати, если вы хотите, чтобы фигурные скобки появлялись в режиме отображения математики, используйте \\ {и \\}.

— Зак Лэнгли

@ZachLangley Я уже пробовал, это не работает :-(

— Janoma

Кажется, это работает для меня в предварительном просмотре. Я не могу отправить правку, потому что я добавляю только четыре символа, а минимум шесть. Вы используете две обратные косые черты, и это не сработало?

— Зак Лэнгли

@ZachLangley Теперь это работает, но две вещи: во-первых, это не сработало, когда я впервые опубликовал ответ. Во-вторых, я думаю, что это несовместимо с поведением рендеринга LaTeX в cstheory, но я могу ошибаться.

— Яном

Полученный ДФА минимален? Не могли бы вы немного рассказать о том, как доказать, что он минимален?

— user834

$2^{s}$ $\{a, b\}$ $a$ $b$ $a$ $b$ $\lambda$ $a$ $b$ $ab$ $\{q_{1}\}$ $\{q_{2}\}$ $\{\}$ $\{q_{1}, q_{2}\}$

— Patrick87
источник

согласился, но вопрос «есть ли способ добраться до всех возможных подмножеств штатов в NFA» нетривиален и заслуживает дальнейшего изучения ....

— vzn

-1

Я считаю, что это вопрос на границе знаний, то есть, в основном, вопрос исследования. Из быстрого поиска в Google, кажется, в основном открыто. Кроме того, в течение многих лет я считал, что это важно и связано с нижними границами теории сложности. Вы не упоминаете непосредственно статистический анализ, но именно это подразумевает ваш вопрос. Вот два примера статистических исследований по DFA / NFA, которые похожи, чтобы показать общий подход к вопросам такого типа. Похоже, что базовые эмпирические исследования таких вопросов до сих пор в основном не изучены. По общему признанию, второе не имеет прямого отношения к вашему вопросу, но это самое близкое, что я мог найти из текущих исследований.

$x$

Эта метрика будет связана с метриками теории графов, такими как граничная плотность и так далее. Вероятно, есть некоторая очень важная метрика теории графов или набор метрик, который оценивает «взрыв», но это не сразу очевидно для меня. Я мог бы предложить что-то вроде метрики раскраски графа или метрики клика, может быть. Затем сравните метрику с двумя наборами «взорван» против «не взорван».

Другие ответы на ваш вопрос пока только дают пример «взрыва» (полезно для тематического исследования), но не затрагивают ключевой вопрос общей метрики.

Еще одной областью, на которую стоит обратить внимание на успешно разработанную программу эмпирических исследований, является исследование точки перехода SAT. Это разработало очень глубокие связи с понятиями физики и термодинамики. Мне кажется вероятным, что подобные концепции применимы здесь. Например, можно найти аналогичные метрики типа точки перехода; возможно граничная плотность и т. д. Отметим параллели с теорией сжимаемости Колмогорова.

Я также предполагаю, что NFA, которые «взрываются» по сравнению с теми, которые этого не делают, в некоторой степени аналогичны «сложным» и «легким» случаям NP-завершенных проблем.

Еще один способ изучения этой проблемы - сформулировать проблему минимизации NFA. То есть, учитывая DFA, найдите минимальный NFA, который, как я слышал (много лет назад), все еще оставался открытой проблемой.

[1] О производительности алгоритмов минимизации автоматов Марко Алмейда, Нельма Морейра, Рожериу Рейс

[2] Автоматы, распознающие слова: статистический подход. Кристиан С. Калуде, Цезарь Кампеану, Моника Думитреску

— ВЗН
источник