Может ли булева алгебра быть выражена в просто типизированной лямбда-какклус?

Таким образом, булева алгебра может быть выражена в нетипизированном лямбда-исчислении .

true  = \t. \f. t;
false = \t. \f. t;
not   = \x. x false true;
and   = \x. \y. x y false;
or    = \x. \y. x true y;

Также булева алгебра может быть закодирована в Системе F следующим образом :

CBool = All X.X -> X -> X;
true  = \X. \t:X. \f:X. t;
false = \X. \t:X. \f:X. f;
not   = \x:CBool. x [CBool] false true;
and   = \x:CBool. \y:CBool. x [CBool] y false;
or    = \x:CBool. \y:CBool. x [CBool] true y;

Есть ли способ выразить булеву алгебру в простом типе лямбда-исчисления? Я предполагаю, что ответ НЕТ. ( Например, Предшественник и списки не могут быть представлены в простом типе лямбда-исчисления .) Если ответ действительно НЕТ, есть ли простое интуитивное объяснение, почему невозможно кодировать логические значения в просто типизированном лямбда-исчислении?

ОБНОВЛЕНИЕ: Мы предполагаем, что есть базовые типы.

ОБНОВЛЕНИЕ: здесь был найден отрицательный ответ с объяснением (комментарий «Вот эскиз для доказательства того, что лямбда-исчисление простого типа с продуктами и бесконечным числом базовых типов не имеет логических значений».) Это то, что я искал.

lo.logic type-theory lambda-calculus

— Илья Ключников
источник

Попробуйте ввести определения в Haskell и посмотрите, что произойдет, когда вы дадите типы различным выражениям. Вы увидите, что код сильно зависит от полиморфизма.

— Дейв Кларк

Извините за педантичность, но вопросы о выразительности того или иного исчисления становятся осмысленными только при ясном понимании того, что вы подразумеваете под «выраженным», «закодированным» и «представленным», поскольку существует множество разумных способов понимания этих терминов. Более того, поскольку вы оговариваете существование базовых типов, вам нужно будет конкретно указать, что это такое и с какими конструкторами / деструкторами они идут.

— Мартин Бергер

Извините, что я не был педантичным. Ответ был найден здесь: math.andrej.com/2009/03/21/…

— Илья Ключников

Я чувствую, что должен получить некоторый кредит за ведение такого изящного блога :-)

— Андрей Бауэр

Определение логического типа, используемого в блоге, сильнее, чем здесь. Фактически, ответ Джереми показывает, что лямбда-исчисление с простыми типами, по крайней мере, с одним базовым типом (назовем его

) может выражать булеву алгебру в смысле OP: определить

O

$O$

B = O \to O \to O

$B=O\to O\to O$

t r u e = λ x : O . λ y : O . x

$\mathrm{true}=\lambda x:O.\lambda y:O.x$

f a l s e = λ x : O . λ y : O . y

$\mathrm{false}=\lambda x:O.\lambda y:O.y$

n o t = λ a : B . λ x : O . λ y : O . a y x

$\mathrm{not}=\lambda a:B.\lambda x:O.\lambda y:O.ayx$

a n d = λ a : B . λ b : B . λ x : O . λ y : O . a (b x y) y

$\mathrm{and}=\lambda a:B.\lambda b:B.\lambda x:O.\lambda y:O.a(bxy)y$

o r = λ a : B . λ b : B . λ x : O . λ y : O . a x (b x y)

$\mathrm{or}=\lambda a:B.\lambda b:B.\lambda x:O.\lambda y:O.ax(bxy)$

— Эмиль Йержабек поддерживает Монику