Доказательство, что бинарное дерево имеет не более

Я пытаюсь доказать, что бинарное дерево с узлами имеет самое большее $n$ листья. Как мне поступить с индукцией? $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Для людей, которые следили за оригинальным вопросом о кучах, он был перенесен сюда .

— varatis
источник

Во-первых, обратите внимание, что мы можем использовать LaTeX здесь. Нажмите «изменить», чтобы увидеть, как я это сделал. Во-вторых, я не вижу индукции. Вы добавляете туда несколько чисел, но у вас нет никакой структуры доказательств и никакого отношения к кучам. Вы можете улучшить это? И, наконец, утверждение неверно: отсортированный список выполняет свойство кучи и имеет только один лист. Вы оставили некоторые предположения?

— Рафаэль

Правит ли @ Kaveh то, что вы имели в виду, то есть "самое большее"?

— Рафаэль

@ Рафаэль, читая вопрос еще раз, я думаю, что речь может идти о кучах, где каждый внутренний узел имеет ровно двух дочерних элементов (в этом случае исходный вопрос имеет смысл, а утверждение правильное или что-то подобное).

— Каве

@Kaveh Ах, да, я вижу твое замешательство. Узлы кучи имеют не более двух дочерних

— элементов

Понимаю. С точно сформулированным требованием, действительно, нет необходимости в дополнительных предположениях. Это свойство действительно для всех бинарных деревьев.

— Рафаэль

Ответы:

Теперь я предполагаю, что вопрос заключается в следующем:

Если дано двоичное дерево с узлами, докажите, что оно содержит не более $n$ листья. $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Давайте работать с определением дерева . Для такого дерева, пусть число узлов в и число листьев в . $\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$ $T$ $n_T$ $T$ $l_T$ $T$

Вы правильно делаете это по индукции, но вам понадобится структурная индукция, которая следует древовидной структуре. Для деревьев это часто делается как полная индукция по высоте деревьев. $h(T)$

Индукционный якорь состоит из двух частей. Во-первых, для имеем с ; претензия явно относится к пустому дереву. Для , т.е. , аналогично имеем $h(t)=0$ $T=\mathrm{Empty}$ $l_T=n_T=0$ $h(t)=1$ $T = \mathrm{Leaf}$ , так что претензия распространяется на листья. $l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

Гипотеза об индукции: Предположим, что утверждение верно для всех (двоичных) деревьев с произвольным, но фиксированным , . $T$ $h(T)\leq k$ $k\geq 1$

Для индуктивного шага рассмотрим произвольное двоичное дерево с . Поскольку , и . Поскольку и также являются бинарными деревьями (иначе не будет) и $T$ $h(T)=k+1$ $k\geq 1$ $T=\mathrm{Node}(L,R)$ $n_T = n_L+ n_R+1$ $L$ $R$ $T$ , гипотеза индукции применяется и имеет $h(L),h(R)\leq k$

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

Поскольку все листья находятся либо в либо в , мы имеем $T$ $L$ $R$

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

Неравенство , отмеченное может быть проверено с помощью (четыре стороны) случаем различия по поводу того , . В силу индукции это завершает доказательство. $(*)$ $n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$

В качестве упражнения вы можете использовать ту же технику для доказательства следующих утверждений:

Каждое совершенное двоичное дерево высоты имеет вершин. $h$ $2^h-1$
Каждое полное двоичное дерево имеет нечетное количество узлов.

— Рафаэль
источник

Я немного смущен этим вопросом. Если вас интересуют деревья со степенью не более , что, как говорит Википедия, вам нужно, мы сталкиваемся с проблемой, что у одного ребра узла и листа, но . Во всяком случае, здесь есть что-то близкое, что имеет легкий аргумент. $3$ $n=2$ $n=2$ $n/2 = 1$

Пусть такое дерево с узлами и листьями. Так как - дерево, существует ребер, и их двойной счет, мы видим, что который говорит, что и это тесно в двух Пример вершины выше. Я думаю, что если вы хотите предположить, что существует один корень степени два и , то вы можете уточнить этот аргумент, чтобы дать $T$ $n$ $L$ $T$ $n-1$

2 n - 2 \leq L + 3 (n - L)

$2n - 2 \le L + 3(n - L)$

2 L \leq n + 2

$2L\le n + 2$

n \geq 3

$n\ge 3$

это то, что вы ищете, и это плотно, когда дерево заполнено.

2 L \leq n + 1

$2L \le n + 1$

— Луис
источник

Я предполагаю, что мы молча предполагаем, что здесь укоренились деревья; Википедия тоже так делает.

— Рафаэль

Википедия вроде двусмысленно говорит: «За пределами дерева часто существует ссылка на« корневой »узел (предок всех узлов), если он существует». Во всяком случае, этот аргумент, кажется, стоит записать, поскольку он отличается и довольно прост.

— Луи

Если вы читаете дальше, все ребра направлены, они говорят о «детях» и «родителях». Это не имеет смысла в деревьях без корней. Как следствие, лист будет узлом со степенью 0.

— Рафаэль