Доказательство двоичной кучи имеет

Я пытаюсь доказать, что двоичная куча с узлами имеет точно $n$ выходит, учитывая, что куча строится следующим образом: $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

Каждый новый узел вставляется через percolate up . Это означает, что каждый новый узел должен быть создан на следующем доступном дочернем узле. Под этим я подразумеваю, что дети заполнены вниз и слева направо. Например, следующая куча:

    0
   / \
  1   2

должен был бы быть построен в следующем порядке: 0, 1, 2. (числа являются просто индексами, они не дают указания на фактические данные, хранящиеся в этом узле.)

Это имеет два важных значения:

На уровне не может быть узла, если уровень не заполнен полностью $k+1$ $k$
Поскольку дочерние элементы создаются слева направо, между узлами на уровне не может быть «пустых мест» или ситуаций, подобных следующим: $k+1$
```
    0
   / \
  1   2
 / \   \
3  4    6
```

(По моему определению это была бы недопустимая куча.) Таким образом, хороший способ думать об этой куче - реализация массива кучи, где не может быть никаких «переходов» в значениях массива.

Итак, я думал, что индукция, вероятно, будет хорошим способом сделать это ... Возможно, что-то, имеющее дело с даже нечетными случаями для n. Например, некоторая индукция использует тот факт, что четные кучи, построенные таким образом, должны иметь внутренний узел с одним дочерним элементом для четного n, и не иметь таких узлов для нечетного n. Идеи?

data-structures binary-trees

— varatis
источник

@DaveClarke: не совсем; связанный вопрос является результатом недоразумения в части редакторов, оставленных там для справки.

— Рафаэль

Вы пробовали индукцию по номеру узла соответственно? количество вставок?

— Рафаэль

@DaveClarke: почему? Это действительный вопрос сам по себе, имхо.

— Рафаэль

Кстати, вопрос не имеет ничего общего с кучами. Требование справедливо для любого полного двоичного дерева

— Ран Г.

Ответы:

Если я правильно понял ваш вопрос, полученная куча - это просто упорядоченное бинарное дерево, где в упорядоченном я имею в виду, что й уровень может быть занят только после того, как уровень полностью заполнен, а каждый уровень занят слева. направо, не пропуская. $k$ $k-1$

Тогда доказательство идет так.

Идеальное дерево глубины имеет ровно вершин. $k$ $2^{k+1}-1$
Предположим, что куча достигает глубины . таким образом
1. до уровня дерево идеально (и имеет узлов там) $k-1$ $2^k-1$
2. на последнем уровне есть ровно узлов, которые все являются листьями. $n-2^k+1$
У каждого листа на м уровне есть родитель. Более того, каждые два последовательных листа имеют одного и того же отца (возможно, за исключением последнего узла, у отца которого только один ребенок) $k$
Таким образом, из узлов на уровне , $2^{k-1}$ $k-1$ родители, а остальные $\left\lceil \frac{n-2^{k}+1}{2} \right\rceil$ это листья. $2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$
Общее количество листьев составляет Что дает вам то, что вам нужно. $n - 2^{k} + 1 + 2^{k - 1} - ⌈ \frac{n - 2^{k} + 1}{2} ⌉$ $n-2^k+1 + 2^{k-1} - \left\lceil\frac{n-2^{k}+1}{2}\right\rceil$

— Ран Г.
источник

Обратите внимание, что полные отличаются от полных отличаются от совершенных бинарных деревьев. Неудачный, неоднозначный и непоследовательный выбор слов там, но что поделаешь. Я полагаю, что придерживаться определения Википедии имеет смысл, как большинство будет смотреть там в первую очередь?

— Рафаэль

Ого, я даже не знал этих терминов. Спасибо за указание на это.

— Ран Г.

«до уровня k − 1 дерево является совершенным (и имеет 2 ^ k - 1 узлов там)» и «Таким образом, из 2 ^ (k − 1) узлов на уровне k − 1» кажутся противоречивыми утверждениями, или я что-то упустил?

— Адриан Х.

2^{k} - 1

$2^k-1$

2^{k - 1}

$2^{k-1}$

2^{k - 1} + 2^{k - 2} + . . .

$2^{k-1}+2^{k-2}+...$

Ах, вы совершенно правы, большое спасибо за разъяснения!

— Адриан Х.

Вот более простое логическое доказательство.

$n^{th}$ $\lfloor{n/2}\rfloor$ $\lfloor n/2 +1\rfloor)^{th}$ $\lfloor{n/2}\rfloor$

$\lfloor(n/2)\rfloor$ $\lceil(n/2)\rceil$

— Зубин Пахуджа
источник

Довольно интуитивное и понятное объяснение. Благодарю.

— whitehat