Удалить минимальное количество вершин, чтобы отключить граф

Рассмотрим неориентированный граф с источником и вершиной стока. Мы хотели бы удалить минимальное количество вершин в этом графе, чтобы разъединить любой путь между источником и приемником.

Можем ли мы сделать это, используя, скажем, алгоритм максимального потока, минимального разреза?

algorithms graph-theory network-flow

— babysnow
источник

Это должно работать (я предполагаю, что все края имеют одинаковую емкость).

— А.Шульц

Проверьте этот вопрос на CSTheory

— adrianN

(Этот ответ был первоначально дан как часть вопроса, с целью его проверки.)

Моя интуиция подсказывает мне, что мы можем использовать алгоритм максимального потока, минимального разреза для решения этой проблемы:

Замените каждый из ненаправленных ребер парой направленных ребер.
Замените каждую вершину двумя вершинами и соединенными ребром. все входящие ребра будут связаны с , все исходящие ребра будут связаны с . $v$ $v_\text{in}$ $v_\text{out}$ $v$ $v_\text{in}$ $v$ $v_\text{out}$
Попробуйте найти минимальный разрез . Ребра относятся к вершинам, которые нам нужно удалить. $M$ $M$

— FrankW
источник

Мне не ясно, почему это будет гарантировано работать. Что если минимальный разрез модифицированного графа включает в себя некоторые ребра, которые не находятся между некоторыми и , но являются направленным ребром из шага 1 решения? Почему вы думаете, что каждый минимальный срез вершины исходного графа будет соответствовать одному к одному с минимальным срезом модифицированного графа? Я думаю, что доказательства нужны.

v_{in}

$v_\text{in}$

v_{out}

$v_\text{out}$

— DW

Чтобы поддержать ответ от FrankW, пожалуйста, перейдите по ссылкам ниже, есть статья Абдола-Хоссейна Исфаханяна, поддерживающая замену неориентированного ребра двумя направленными ребрами. - networkx.github.io/documentation/latest/reference/generated/… - cse.msu.edu/~cse835/Papers/Graph_connectivity_revised.pdf

— Паван Путтасвами

@pawanp, я не слежу за тобой. Конечно, вы можете заменить ненаправленное ребро двумя направленными ребрами. Вопрос не в том, сможете ли вы это сделать, а в том, перечислил ли после применения алгоритма FrankW, гарантированно ли вывод будет правильным решением исходной проблемы. Я не понимаю, насколько важна справочная страница библиотеки NetworkX. Что касается статьи: она имеет 14 страниц, с 11 различными алгоритмами, большинство из которых не имеют доказательств правильности. Можете ли вы более конкретно указать, какую именно часть вы считаете здесь уместной?

— DW