если (λ x. xx) имеет тип, то является ли система типов несовместимой?

Если система типов может присваивать тип λ x . x xили не завершающий (λx . x x) (λ x . x x), то является ли эта система несовместимой? Каждый тип в этой системе обитаем? Можете ли вы доказать ложь?

lambda-calculus dependent-types

— MaiaVictor
источник

Конечно, присвоение типа является не достаточно для непоследовательности: в системе , мы можем получить $\lambda x. x\ x$ $F$

λ x . x x : (\forall X . X) \to (\forall X . X)

$\lambda x.x\ x:(\forall X.X)\rightarrow (\forall X.X)$

довольно простым способом (это хорошее упражнение!). Однако не может быть хорошо типизирован в этой системе, предполагая -согласованность арифметики 2-го порядка, так как это означает, что все такие хорошо типизированные слагаемые являются нормализующими. $(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$ $\omega$

Кроме того, система является последовательной. Это следует из любой нормализации, как можно показать , что любой член типа не может иметь нормальную форму, или гораздо более простой аргумент, в котором каждый тип присваивается набор, либо или и можно показать, что всем производным типам назначается , а назначается (и, следовательно, не является выводимым). $F$ $\forall X.X$ $\varnothing$ $\{\varnothing\}$ $\{\varnothing\}$ $\forall X.X$ $\varnothing$

Последний аргумент может быть выполнен в арифметике первого порядка. Тот факт, что может быть хорошо типизирован в согласованной системе, может рассматриваться как несколько беспокоящий, и является следствием непредсказуемости систем . Не должно быть сюрпризом то, что некоторые люди подвергают сомнению надежность непредсказуемых систем логики. Однако в таких системах до сих пор не было обнаружено несоответствий. $\lambda x.x\ x$

С другой стороны, чтобы иметь возможность сделать более общее утверждение о том, что не может быть хорошо напечатано в согласованной системе, вам необходимо иметь достаточно «логической структуры» в Система типов, чтобы иметь возможность четко определить последовательность. Затем вам нужно показать, что термин без нормальной формы головы (как вышеупомянутый) может иметь любой тип, что также не очевидно! $(\lambda x.x\ x)(\lambda x.x\ x)$

Более подробную информацию можно найти в моем ответе на связанный вопрос: /cstheory//a/31321/3984.

— Коди
источник

Читая эти ответы, я вижу, что вы, очевидно, прекрасно понимаете этот вопрос. Я хотел бы узнать больше, но я не уверен, где искать. Я просмотрел книгу TAPL, в которой ничего не говорится, поэтому не уверен, что это тема теории типов. Не могли бы вы указать мне, какие области CS / математики связаны с этим вопросом, и, возможно, несколько книг / статей? Большое спасибо.

— MaiaVictor

Я не уверен , что эти вопросы являются «областью исследований» сам по себе , больше похожи на несколько забавных вопросы , которые бы отвечали давно , если существует какие - то серьезные усилия со стороны экспертов. Это определенно предмет теории типов, и теория Систем Чистых Типов имеет то преимущество, что делает задачу определенной и ограниченной. Возможно, я бы порекомендовал бумагу Coquand-Herbelin из другой ветки.

— Коди

Подобные вопросы задавались, например, здесь и здесь . Я бы добавил в список «лямбда-исчисления Барендрегта с типами» .

— Коди

Какой здесь синтаксис? Я ожидал увидеть для члена типа .

λ x : (\forall X . X) . Λ Y . x [Y \to Y] (x [Y])

$\lambda x : (\forall X . X) . \Lambda Y . x [Y \to Y] \; (x [Y])$

(\forall X . X) \to (\forall X . X)

$(\forall X . X) \to (\forall X . X)$

— Андрей Бауэр

@AndrejBauer это «неявный» синтаксис, в котором нет никаких аннотаций на , а абстракции типов и приложения опущены. Вы также можете указать: если хотите. Вывод типа здесь неразрешим, но это несколько ортогонально вопросу. Конечно, все не так ясно, когда у вас есть зависимые типы, но существуют версии, например, CoC с неявными количественными определениями (исчисление неявных конструкций Микеля), поэтому вопрос остается актуальным.

λ

$\lambda$

λ x : (\forall X . X) . x [(\forall X . X) \to (\forall X . X)] x

$\lambda x:(\forall X.X). x[(\forall X.X)\rightarrow(\forall X.X)]\ x$

— Коди