Характеристика лямбда-терминов, которые имеют типы объединения

Многие учебники охватывают типы пересечений в лямбда-исчислении. Правила набора для пересечения могут быть определены следующим образом (поверх простого типа лямбда-исчисления с подтипами):

\frac{Γ ⊢ M : T_{1} Γ ⊢ M : T_{2}}{Γ ⊢ M : T_{1} \land T_{2}} (\land I) \frac{}{Γ ⊢ M : ⊤} (⊤ I)

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1 \quad \Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \wedge T_2} (\wedge I) \qquad\qquad \dfrac{} {\Gamma \vdash M : \top} (\top I)$

Типы пересечений имеют интересные свойства в отношении нормализации:

Лямбда-член можно вводить без использования $\top I$ если оно сильно нормализуется.
Лямбда-член допускает тип, не содержащий $\top$ если он имеет нормальную форму.

Что если вместо добавления пересечений мы добавим объединения?

\frac{Γ ⊢ M : T_{1}}{Γ ⊢ M : T_{1} \lor T_{2}} (\lor I_{1}) \frac{Γ ⊢ M : T_{2}}{Γ ⊢ M : T_{1} \lor T_{2}} (\lor I_{2})

$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1} {\Gamma \vdash M : T_1 \vee T_2} (\vee I_1) \qquad\qquad \dfrac{\Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \vee T_2} (\vee I_2)$

Есть ли у лямбда-исчисления с простыми типами, подтипами и объединениями какое-нибудь интересное подобное свойство? Как можно охарактеризовать термины, которые можно набрать с помощью union?

lambda-calculus type-theory logic

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"
источник

Интересный вопрос. Не могли бы вы сказать, что интерфейсы из ООП соответствуют этому?

— Рафаэль

Может быть, вам может быть интересен этот cs.cmu.edu/~rwh/courses/refinements/papers/Barbaneraetal95/…

— Фабио Ф.

Ответы:

В первой системе то, что вы называете подтипом, это два правила:

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ M : S}{Γ, x : T_{1} \land T_{2} ⊢ M : S} (\land E_{1}) \frac{Γ, x : T_{2} ⊢ M : S}{Γ, x : T_{1} \land T_{2} ⊢ M : S} (\land E_{2})

$\dfrac{Γ, x:T_1 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∧ T_2 \vdash M:S}(∧E_1)\quad\dfrac{Γ, x:T_2 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∧ T_2 \vdash M:S}(∧E_2)$

Они соответствуют правилам исключения для ; без них or более или менее бесполезна. $∧$ $∧$

Во второй системе (со связями и , к которой мы могли бы также добавить ), вышеприведенные правила подтипов не имеют значения, и я думаю, что вы имели в виду следующие сопутствующие правила: $∨$ $→$ $⊥$

\frac{Γ, x : T_{1} ⊢ M : S Γ, x : T_{2} ⊢ M : S}{Γ, x : T_{1} \lor T_{2} ⊢ M : S} (\lor E) \frac{}{Γ, x : ⊥ ⊢ M : S} (⊥ E)

$\dfrac{Γ, x: T_1 \vdash M:S\quad Γ, x:T_2 \vdash M:S}{Γ, x:T_1 ∨ T_2 \vdash M:S}(∨E)\quad\dfrac{}{Γ, x: {⊥} \vdash M:S}({⊥}E)$

Для чего это стоит, эта система позволяет набирать (используя правило rule ), которое нельзя набирать простыми типами, которое имеет нормальную форму, но не сильно нормализует , $(λx. I)Ω:A→A$ ${⊥}E$

Случайные мысли: (возможно это стоит спросить на TCS)

Это приводит меня к предположению, что связанные свойства являются чем-то вроде:

λ-член допускает тип, не содержащий если имеет нормальную форму для всех $M$ $⊥$ $MN$ $N$ имеющих нормальную форму. ( не проходит оба теста, но вышеуказанный λ-член проходит их) $δ$
λ-член может быть набран без использования правила если $M$ ${⊥}E$ $MN$ сильно нормализации для всех сильно нормализующего . $N$

Упражнение: докажи, что я не прав.

Кроме того, это похоже на вырожденный случай, может быть, нам стоит подумать о добавлении этого парня в картину. Насколько я помню, это позволило бы получить ? $A ∨ (A → {⊥})$

— Стефан Хименес
источник

Хорошие замечания по поводу правил подтипирования: они показывают, что типы объединения не так естественны, как пересечения (которые вводятся ортогонально стрелкам). О второй части мне нужно подумать еще немного.

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"

Я думаю, что отвечает на упражнение, если вы говорите о типах объединения.

M = (λ x . x x) (λ y . y)

$M=(\lambda x.xx)(\lambda y.y)$

— Джмад

О call / cc: ему нужно больше, чем просто лямбда-термины (например, лямбда-му-термины или другая структура), но системы типов являются более сложными, логическими системами, в которых типы объединения могут быть неактуальными.

— Джмад

@jmad: Действительно, типы пересечений необходимы для того, чтобы ввести этот термин :-( Может быть, было бы интересно рассмотреть объединения и пересечения вместе?

— Стефан Гименес

Я был бы заинтересован в λ-члене, который можно вводить с объединением типов (rs. С типами пересечений), но не с простыми типами (rs. С типами пересечений).

— Джмад

Я просто хочу объяснить, почему типы пересечений хорошо подходят для характеристики классов нормализации (сильных, головных или слабых), тогда как другие системы типов не могут. (простой тип или система F).

$M_2$ $M_1→M_2$ $M_1$

(λ x . M x x) N \to M N N

$(\lambda x.Mxx)N → MNN$

$MNN$ $N$

M : T_{1} \to T_{2} \to T_{3} N : T_{1} N : T_{2}

$M:T_1→T_2→T_3 \qquad N:T_1 \qquad N:T_2$

M : T_{1} \land T_{2} \to T_{1} \land T_{2} \to T_{3} N : T_{1} \land T_{2}

$M:T_1\wedge T_2→T_1\wedge T_2→T_3 \qquad N:T_1\wedge T_2$

(λ x . M x x) : T_{1} \land T_{2} \to T_{3} N : T_{1} \land T_{2}

$(\lambda x.Mxx):T_1\wedge T_2→T_3 \qquad N:T_1\wedge T_2$

(λ x . M x x) N

$(\lambda x.Mxx)N$ можно набирать типами пересечений.

$(\lambda x.xx)(\lambda y.y)$ $\lambda x.xx$ $S, T_1, \dots$

x : T_{1} \lor T_{2} \lor \dots \lor T_{n} ⊢ x x : S

$x : T_1\vee T_2 \vee \dots \vee T_n ⊢xx:S$

i

$i$

x : T_{i} ⊢ x x : S

$x:T_i⊢xx:S$

S

$S$

Вот почему я не думаю, что есть легкая характеристика нормализации для типов объединения.

— jmad
источник