Остаточный график в максимальном потоке

14

Я читаю о проблеме максимального потока здесь . Я не мог понять интуицию, стоящую за остаточным графиком. Почему мы учитываем задние края при расчете потока?

Может ли кто-нибудь помочь мне понять концепцию остаточного графа?

Как меняется алгоритм в неориентированных графах?

— ЦД
источник

28

Интуиция, связанная с остаточным графом в задаче о максимальном потоке, очень хорошо представлена в этой лекции. Объяснение состоит в следующем.

Предположим, что мы пытаемся решить проблему максимального потока для следующей сети (где каждая метка обозначает как поток проталкиваемый через ребро и емкость этого ребра): $G$ $f_e/c_e$ $f_e$ $e$ $c_e$

Один из возможных жадных подходов заключается в следующем:

Выберите произвольный путь расширения который идет от исходной вершины к стоковой вершине , что $P$ $s$ $t$ ); то есть все ребра в имеют доступную емкость. $\forall e \: (e \in P \rightarrow f_e \lt c_e$ $P$
$\Delta$ $\Delta$ $P$ $\Delta=\min_{e \in P} (c_e-f_e)$
Переходите к шагу 1 до тех пор, пока не будет расширенных путей.

То есть найдите путь с доступной емкостью, отправьте поток по этому пути и повторите.

В , одно возможное исполнение выше эвристических находок три пути увеличения , и , в этом порядке. Эти пути перемещают 2, 2 и 1 единицы потока, соответственно, для общего потока 5: $G$ $P_1$ $P_2$ $P_3$

Выбор путей в этом порядке приводит к оптимальному решению; однако что произойдет, если мы сначала выберем (т. е. перед и )? $P_3$ $P_1$ $P_2$

Мы получаем то, что называется потоком блокирования : больше не существует путей расширения. В этом случае общий поток равен 3, что не является оптимальным. Эту проблему можно решить, разрешив операции отмены (т. Е. Разрешив отправку потока в обратном порядке, отменив работу предыдущих итераций): просто переместите 2 единицы потока назад от вершины к вершине следующим образом: $w$ $v$

Кодирование этих разрешенных операций отмены является основной целью остаточного графа .

Остаточный граф сети имеет тот же набор вершин, что и и включает для каждого ребра : $R$ $G$ $G$ $e=(u,v) \in G$

Передний фронт с емкостью , если . $e'=(u,v)$ $c_e-f_e$ $c_e-f_e \gt 0$
Обратный край с емкостью , если . $e''=(v,u)$ $f_e$ $f_e \gt 0$

Например, рассмотрим остаточный граф который получается после первой итерации жадной эвристики, когда эвристика сначала выбирает (то есть, когда он получает поток блокировки): $R$ $P_3$

Обратите внимание, что операция отмены, которая перемещает 2 единицы потока от к , закодирована как прямой (увеличивающий) путь от к в : $w$ $v$ $s$ $t$ $R$

В общем:

Когда расширяющий путь выбран в остаточном графе : $P'$ $R$

Каждое ребро в которое соответствует переднему ребру в увеличивает поток, используя ребро с доступной емкостью. $P'$ $G$

Каждое ребро в которое соответствует ребру, идущему назад в отменяет поток, который был перемещен в прямом направлении в прошлом. $P'$ $G$

Это основная идея метода Форда-Фулкерсона .

Метод Форда – Фулкерсона действует точно так же, как и описанный выше жадный подход, но останавливается только тогда, когда в остаточном графе больше нет увеличивающих путей (не в исходной сети). Метод корректен (т. Е. Он всегда вычисляет максимальный поток), поскольку остаточный граф устанавливает следующие условия оптимальности :

Для данной сети поток максимален в если в остаточном графе нет пути. $G$ $f$ $G$ $s-t$

— Марио Сервера
источник

Есть ли пример, где пути добавляются в порядке наименьшей длины, как описано в алгоритме Эдмондса-Карпа? В вашем контрпримере первый путь имеет длину 3, в то время как более короткий (то есть 2) путь может быть найден и будет добавлен первым, если мы выполняем Edmonds-Karp.

— Рой

Вы можете просто сделать все пути в исходном графе длиной . Для этого разбить вершину на две вершины и . Затем разделите на и . Добавьте также два ребра и с емкостью . Ребро, которое первоначально перешло от к , теперь перейдет от к . Мы можем получить такой же тип блокирующего потока, если сначала выберем путь, содержащий ребро .

s - t

$s-t$

3

$3$

v

$v$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

w

$w$

w_{1}

$w_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, v_{2})

$(v_1,v_2)$

(w_{1}, w_{2})

$(w_1,w_2)$

2

$2$

v

$v$

w

$w$

v_{1}

$v_1$

w_{2}

$w_2$

(v_{1}, w_{2})

$(v_1,w_2)$

— Марио Сервера

Ваш пример имеет смысл. Мы всегда можем расширить граф на других ребрах в разрезе, чтобы рассматриваемое ребро находилось на одном из самых коротких путей.

— Рой

3

Интуиция за остаточной сетью заключается в том, что она позволяет нам «отменить» уже назначенный поток, т. Е. Если мы уже присвоили 2 единицы потока от до , то передача 1 единицы потока из в интерпретируется как отмена одной единицы исходного потока от к . $A$ $B$ $B$ $A$ $A$ $B$

— Банах Тарский
источник