Универсальная / экзистенциальная количественная оценка?

Я изо всех сил пытаюсь понять цель универсального и экзистенциального количественного определения типов. Я играю с написанием игрушечного языка, основанного на исчислении конструкций . Я читал о Морте и Хенке, чтобы помочь мне лучше понять.

Я не понимаю, почему у CoC есть и лямбда, и полная абстракция.

Мне кажется, что лямбда входит в систему, где типы передаются вручную. Другими словами, что следующее

Может быть заменено на

Если это было впервые применено к используемому типу.

Что мне не хватает? Какие газеты, блоги или статьи можно прочитать, которые могут мне помочь?

Спасибо.

Это помогает помнить, что (или как вы иногда видите) является типом. Это обобщает . Поэтому, хотя и имеет смысл сказать , не имеет смысла говорить потому что - это просто тип. Вы бы не сказали потому не для вычислений как таковых, а для классификации лямбда-терминов, которые могут применяться следующим образом .П → ( λ х : . М ) N ( ∀ х : . М ) N ∀ . , , ( A → B ) N $\forall$$\Pi$$\to$$(\lambda x : A. M)\ N$$(\forall x : A. M)\ N$$\forall ...$$(A \to B)\ N$$\to$

Это было то, что сбило меня с толку, но именно так определяется исчисление конструкций (как и любой другой зависимой типизированной системы).

Две программы, которые вы написали, имеют очень разные намерения, и первая из них имеет неверный тип. Не имеет смысла говорить потому что требует оба аргумента по типам, что означает, что если должен быть хорошо типизирован, мы должны есть . Тем не менее, не является типом, ему может быть назначен только тип формы , никогда . Второй один с другой стороны, почти (я думаю , что вы имели в виду , чтобы вернуть не ) является функцией и задается тип , используя два s.∀ ∀ х : . B B : ∗ λ x . х ∀ х : . B ∗ a x $\forall x : A.\ \lambda x.\ x$$\forall$$\forall x : A. B$$B : *$$\lambda x. x$$\forall x : A. B$$*$$a$$x$$\forall$

Имейте в виду, что экзистенциальные и универсальные типы довольно различны. Это конструктивная логика, а не классическая логика и в конструктивной логике и ∃ не так связаны, как в классической логике.$\forall$$\exists$

- это тип программ, которые получают объект типа A и возвращают объект типа B ( x ) . Здесь важно то, что тип B ( x ) зависитот x и не одинаков для всех x . Это может варьироваться в зависимости от того, что х . Для одного ввода x мы можем вывести целое число. Для другого мы могли бы вывести реальное число. Для еще одного мы могли бы вывести функцию над действительными числами. Если B ( х $\forall x:A. B(x)$$A$$B(x)$$B(x)$ $x$$x$$x$$x$$B(x)$не изменяется с , то вы можете использовать A → B в месте , которое является типом функций от А до B .$x$$A\to B$$A$$B$

являетсязависимойверсией (конструктивной) дизъюнкции. Вы можете думать о конструктивной дизъюнкции A ∨ B двух типов A и B , как несвязное объединение A и B . ∃ х : . В ( х ) является объединением непересекающихся коллекции типов B ( х ) , индексированного х : . Дело в том, что типа Б $\exists x:A. B(x)$$A \lor B$$A$$B$$A$$B$$\exists x:A.B(x)$$B(x)$$x:A$ van изменяется в зависимости от значения x : A делает его зависимым типом. Сравнение со случаемкогда Б не зависит от х : А : ∃ х : А . B . Мы принимаем одну копию того же B для каждого х : А . Это изоморфно × B .$B(x)$$x:A$$B$$x:A$$\exists x:A. B$$B$$x:A$$A \times B$

Теперь вы можете спросить, зачем нам нужны зависимые продукты и типы сумм? Потому что они дают нам больше выразительной силы. Теперь мы можем полностью игнорировать типы и иметь нетипизированную теорию типов / функциональное программирование. Но это устраняет преимущества наличия типов во-первых, например, вы не будете знать, будут ли все программы завершаться всегда (строгая нормализация). См. Лямбда-куб и Зависимый тип . Я думаю, что хороший способ хорошо понять зависимые типы - это посмотреть на правила для введения и устранения зависимых типов в теории типов Мартина-Лофа .

Суть зависимых типов заключается в следующем: мы хотим оставаться в хорошей типизированной теории по разным причинам (например, избегать ошибок, автоматического доказательства завершения и т. Д.). Мы не хотим переходить к чему-то вроде нетипизированного лямбда-исчисления, где мы можем сделать выражения, подобные тем, которые вы заявили, и гораздо более мощные вещи. Можно сказать, что зависимые типы были изобретены, чтобы позволить выражать больше вещей, оставаясь при этом в хорошей теории типов.