Что не так с суммами терминов Ландау?

14

Я написал

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{i} = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

но мой друг говорит, что это неправильно. Из шпаргалки TCS я знаю, что сумма также называется $H_n$ которая имеет логарифмический рост по $n$ . Таким образом, моя граница не очень четкая, но достаточна для анализа, который мне был нужен.

Что я сделал не так?

Изменить : мой друг говорит, что с тем же рассуждением, мы можем доказать, что

$\qquad \displaystyle \sum\limits_{i=1}^n i = \sum\limits_{i=1}^n \cal{O}(1) = \cal{O}(n)$

Теперь это явно неправильно! Что здесь происходит?

asymptotics landau-notation

— Рафаэль
источник

2

Смотрите обсуждение тегов этого вопроса здесь .

— Рафаэль

мета обсуждение алгоритмов тегов .

— Каве

См. Также более конкретную обработку распространенного примера: какова асимптотическая среда выполнения этого вложенного цикла?

— Жиль "ТАК - перестань быть злым"

10

То, что вы делаете, - это очень удобное злоупотребление нотацией.

Некоторые педанты скажут, что то, что вы пишете, является чепухой, поскольку обозначает множество, и вы не можете выполнять арифметические операции над ними так, как вы это делаете. $\mathcal{O}(f)$

Но это хорошая идея - игнорировать этих педантов и предполагать, что обозначает некоторый член набора. Поэтому, когда мы говорим , что мы действительно имеем в виду, если это . (Примечание: некоторые педанты тоже могут вздрогнуть от этого утверждения, утверждая, что - это число, а $\mathcal{O}(f)$ $f(n) = g(n) + \mathcal{O}(n)$ $f(n) - g(n) \in \mathcal{O}(n)$ $f(n)$ $f$ это функция!)

Это делает очень удобным для написания таких выражений, как

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + O (n^{1 / 3})

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + \mathcal{O}(n^{1/3})$

Это означает, что есть некоторые таким образом, что $f \in \mathcal{O}(n^{1/3})$

n \leq \sum_{k = 1}^{n} k^{1 / k} \leq n + f (n)

$n \le \sum_{k=1}^n k^{1/k} \le n + f(n)$

В вашем случае

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1) = \mathcal{O}(n)$

Вы злоупотребляете этим еще больше, и вам нужно быть осторожным.

Здесь возможны две интерпретации: относится ли к функции или функции ? $\mathcal{O}(1)$ $n$ $k$

Я считаю, что правильное толкование - это интерпретировать его как функцию от . $k$

Если вы попытаетесь думать о нем как о функции , считая его неправильным, это может привести к потенциальным ошибкам, например, если думать, что есть и пытаться записать $n$ $k$ $\mathcal{O}(1)$ $\sum_{k=1}^{n} k = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(1)$

Если вы попытаетесь думать об этом как о функции , то верно, что если (как аргумент переходит к ) и никогда не равно , то $k$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$ $g$ $0$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (k)) = O (\sum_{k = 1}^{n} | g (k) |)

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(k)) = \mathcal{O}(\sum_{k=1}^{n} |g(k)|)$

Обратите внимание, что в середине мы использовали удобное злоупотребление обозначениями для обозначения того, что для некоторой функции сумма равна . Обратите внимание, что заключительная функция внутри относится к функции . Доказательство не так сложно, но вы должны учитывать тот факт, что вы имеете дело с асимптотической верхней границей (т.е. для достаточно больших аргументов), но сумма начинается прямо с . $\mathcal{O}(g(k))$ $h \in \mathcal{O}(g)$ $\sum_{k=1}^{n} h(k)$ $\mathcal{O}$ $n$ $1$

Если вы попытаетесь представить его как функцию от , то также верно, что если (как аргумент идет к ), то $n$ $f = \mathcal{O}(g)$ $\infty$

S (n) = \sum_{k = 1}^{n} f (k) = \sum_{k = 1}^{n} O (g (n)) = O (n g (n))

$S(n) = \sum_{k=1}^{n} f(k) = \sum_{k=1}^{n} \mathcal{O}(g(n)) = \mathcal{O}(n g(n))$

Таким образом, ваше доказательство по существу правильно, в любой интерпретации.

— Арьябхата
источник

1

Итог: Помните (убедитесь), что каждое вхождение символа Ландау вводит (имеет) свою собственную константу .

— Рафаэль

8

То, что вы написали, совершенно правильно. Номер й гармоники действительно находится в множестве . $n$ $O(n)$

Доказательство: . $\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \le \ln n + 1 \le 2n = O(n)$ $\square$

Верхняя граница не жесткая , но она правильная. $O(n)$

— JeffE
источник

4

Хорошо: 1 / i ≤ 1 = O (1).

— Джефф

1

Концерн направлен на второй знак равенства. Как мне это проверить?

— Рафаэль

2

Но это тоже правильно. Сумма из n членов, каждый из которых является O (1), действительно является O (n).

— Суреш

2

O

$\cal{O}$

2

\sum_{i} O (1) = O (n)

$\sum_i O(1) = O(n)$

i = O (1)

$i = O(1)$

6

Для второго примера, вы не можете утверждать, что

я знак равно О (1)

$i = O(1)$

поскольку $i$ зависит от $n$ , После нескольких шагов это будет так, что $i>n/2$ . A more appropriate way is to say that $i = O(n)$ since indeed, throughout the summation $i$ never exceeds $1\cdot n$ . By this reasoning,

\sum_{i = 1}^{n} i = \sum_{i = 1}^{n} O (n) = n O (n) = O (n^{2})

$\sum_{i=1}^n i = \sum_{i=1}^n O(n)= nO(n) = O(n^2)$

However the right thing to do is actually use the big-O notation only at the end. Upper bound your summation as tight as you can, and only when your done use the asymptotic notations to avoid these pitfalls.

— Ran G.
источник