Максимально независимый набор двудольного графа

Я пытаюсь найти максимальный независимый набор бипаритового графа.

В некоторых заметках я обнаружил следующее: «13 мая 1998 г. - Вашингтонский университет - CSE 521 - Приложения сетевого потока» :

Проблема:

Для двудольного графа $G = (U,V,E)$ найдите как можно большее независимое множество $U' \cup V'$ , где $U' \subseteq U$ и $V' \subseteq V$ . Множество является независимым, если между элементами множества нет ребер $E$

Решение:

Построить потоковый граф на вершинах $U \cup V \cup \{s,t\}$ . Для каждого ребра $(u,v) \in E$ существует бесконечное ребро емкости от $u$ до $v$ . Для каждого $u \in U$ существует ребро единичной емкости от $s$ до $u$ , а для каждого $v \in V$ существует ребро единичной емкости от $v$ до $t$ .

Найти конечный разрез емкости $(S,T)$ , с $s \in S$ и $t \in T$ . Пусть $U' = U \cap S$ и $V' = V \cap T$ . Множество $U' \cup V'$ является независимым, поскольку не существует бесконечных ребер емкости, пересекающих разрез. Размер разреза составляет $|U - U'| + |V - V'| = |U| + |V| - |U' \cup V'|$, Это делается для того, чтобы сделать независимый набор как можно большим, мы делаем разрез как можно меньшим.

Итак, давайте возьмем это как график:

A - B - C
    |
D - E - F

Мы можем разбить это на двудольный граф следующим образом $(U,V)=(\{A,C,E\},\{B,D,F\})$

По поиску методом грубой силы мы можем видеть, что единственный Максимальный Независимый Набор - это $A,C,D,F$ . Давайте попробуем разобраться с решением выше:

Таким образом, построенная матрица смежности потоковой сети будет:

$$\begin{matrix} & s & t & A & B & C & D & E & F \\ s & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ A & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ B & 0 & 1 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 \\ C & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ E & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty \\ F & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ \end{matrix}$$

Вот где я застрял, наименьшее конечное снижение производительности, которое я вижу, является тривиальным: $(S,T) =(\{s\},\{t,A,B,C,D,E,F\})$ с мощностью 3.

Использование этого разреза приводит к неверному решению:

$$U' = U \cap S = \{\}$$ $$V' = V \cap T = \{B,D,F\}$$ $$U' \cup V' = \{B,D,F\}$$

В то время как мы ожидали $U' \cup V' = \{A,C,D,F\}$ ? Может кто-нибудь определить, где я ошибся в своих рассуждениях / работе?

Дополнением максимального независимого множества является минимальное покрытие вершин.

Чтобы найти минимальное покрытие вершин в двудольном графе, см . Теорему Кенига .

Данное решение явно неверно, как вы продемонстрировали на контрпримере. Отметим, что граф U + V является связным компонентом ребрами бесконечной емкости. Поэтому каждый действительный разрез должен содержать все буквы A, B, C, D, E, F на одной стороне.

Попытка отследить, откуда пришло решение: http://www.cs.washington.edu/education/courses/cse521/01sp/flownotes.pdf цитирует сетевые потоки Ахуджи, Магнанти и Орлина для решения некоторых проблем. На эту книгу не распространяются авторские права и ее можно загрузить с http://archive.org/details/networkflows00ahuj, но в ней, похоже, нет этой проблемы и ее решения (поиск для каждого случая "двудольного").

Обратите внимание, что пояснительный параграф решения не показывает, что наименьший разрез построенного им графика соответствует максимальному независимому набору. Это только показывает способ получить в самостоятельный набор.

И все же, вы можете увидеть, что пытается сделать алгоритм. Вот что соответствует фактическому максимальному независимому набору с точки зрения его s, t cut:

Подчеркнуто ребро с бесконечной емкостью, нарушающее алгоритм.

Я не уверен, как исправить алгоритм в соответствии с тем, что было задумано. Может быть, стоимость бесконечного ребра должна быть равна нулю, если он идет в обратном направлении (т. Е. Куда он идет от S к T, но пересекает от t-стороны к s-стороне)? Но все же легко найти минимальный срез / максимальный поток с этой нелинейностью? Кроме того, если подумать о том, как соединить решение @Jukka Suomela с алгоритмом из этого вопроса, возникает трудность, когда мы переходим от максимального соответствия к минимальному покрытию вершин: в то время как нахождение максимального соответствия можно сделать с помощью максимального потока -подобный алгоритм, как вы восстанавливаете минимальное покрытие вершин из него, используя подобный потоку алгоритм? Как описано здесьпосле того, как максимальное совпадение найдено, ребра между U и V становятся направленными, чтобы найти минимальное покрытие вершин. Итак, опять же, это не показывает, что для решения этой проблемы достаточно простого применения min-cut / max-flow.

Данный алгоритм корректен. Построенная сеть потока должна быть направлена, и значение$S$-$T$ вырезать учитывает только ребра, выходящие из множества вершин $S$,

Срез должен быть на фактическом потоке, а не на производительности. Поскольку поток из s конечен, любой {S, T} разрез будет конечным. Остальное объяснено выше.

Я думаю, что вам не нужно соединять ребра в обоих направлениях, даже если исходный график был ненаправленным. Поскольку для сети потоков вам нужен ориентированный граф, вы можете рассмотреть только ребра из$U$ в $V$,

Тогда в этом новом графике $G'$, у вас будет мин-2, что дает вам ответ $\{A,C,D,F\}$,