Существует ли полное лямбда-исчисление по Тьюрингу?

Существуют ли полные лямбда-исчисления по Тьюрингу? Если да, то каковы несколько примеров?

Да, конечно. Многие типизированные лямбда-исчисления по своей природе принимают только строго нормализующие термины, поэтому они не могут выражать произвольные вычисления. Но система типов может быть чем угодно; сделайте его достаточно широким, и вы сможете выразить все детерминированные вычисления.

Система тривиального типа, которая охватывает полный по Тьюрингу фрагмент лямбда-исчисления, - это система, которая принимает каждый термин как хорошо типизированный (с верхним типом ).

$$\dfrac{}{\Gamma \vdash M : \top}$$

На практике статически типизированные функциональные языки программирования имеют в своей основе типизированное лямбда-исчисление, которое позволяет использовать комбинатор с фиксированной точкой как хорошо типизированный. Например, начните с простого набора лямбда-исчисления (или системы типов ML, или системы F, или любой другой системы типов по вашему выбору) и добавьте правило, которое делает некоторый комбинатор с фиксированной точкой, например, хорошо напечатан. Γ ⊢ f : T → $\mathbf{Y} = \lambda f. (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x))$ Правила, представленные выше, довольно неуклюжи, так как они составляют такие термины, как

$$\dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash \mathbf{Y}\,f : T} \qquad \dfrac{\Gamma \vdash f : T \rightarrow T} {\Gamma \vdash (\lambda x. f (x\,x)) (\lambda x. f (x\,x)) : T}$$ хорошо напечатаны, хотя их составляющие не являются хорошо напечатанными - они не являются полностью композиционными. Простое решение - добавить комбинатор точек фиксации в качестве языковой константы и предоставить для него дельта-правило; тогда легко иметь систему типов и семантику редукции ссохранением типов. Вы действительно уходите от чистого лямбда-исчисления в область лямбда-исчисления с константами. $\mathbf{Y}\,f$ $$\begin{gather*} \dfrac{}{\Gamma \vdash \textbf{fix} : (T \rightarrow T) \rightarrow T} \\ \textbf{fix}\,f \to f (\textbf{fix}\,f) \\ \end{gather*}$$

Придерживаясь чистого лямбда-исчисления, интересной системой типов является лямбда-исчисление с типами пересечений.

$$\dfrac{\Gamma \vdash M : T_1 \quad \Gamma \vdash M : T_2} {\Gamma \vdash M : T_1 \wedge T_2} (\wedge I) \qquad\qquad \dfrac{} {\Gamma \vdash M : \top} (\top I)$$

Типы пересечений имеют интересные свойства в отношении нормализации:

• $\top I$
• $\top$

См. Характеристика лямбда-терминов, которые имеют типы объединения, для понимания того, почему типы пересечений имеют такую ​​замечательную область.

Таким образом, у вас есть система типов, которая определяет полный по Тьюрингу язык (поскольку каждый термин хорошо типизирован), и простую характеристику завершающих вычислений. Конечно, поскольку эта система типов характеризует нормализацию, она не разрешима.

_{$(\top I)$$(\wedge I)$$I$$\wedge$$\top$$\rightarrow$$\rightarrow$}