Какие существуют алгоритмы для решения линейных систем с натуральными числами?

Я смотрю на следующую проблему:

Для заданных мерных векторов натуральных чисел v 1 , … , v m и некоторого входного вектора u , является ли u линейной комбинацией v i с коэффициентами натуральных чисел?$n$$v_1, \ldots, v_m$$u$$u$$v_i$

т.е. есть ли где u = t 1 v 1 + ⋯ + t m v m ?$t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$$u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$

Очевидно, что реальная версия этой проблемы может быть решена с использованием исключения Гаусса. Мне интересно, была ли изучена целочисленная версия этой проблемы? Какие существуют алгоритмы для его решения?

Обратите внимание, что здесь используются натуральные числа, но не модульная арифметика, поэтому она несколько отличается от китайской теоремы об остатках и подобных систем. Кроме того, похоже, что это связано с диофантовыми уравнениями, но мне интересно, что было сделано в случае, когда рассматриваются только неотрицательные целые числа? Это также напоминает многомерную задачу о сумме подмножеств, обобщенную для того, чтобы мы могли взять произвольное количество копий каждого вектора. Кажется также, что это связано с проверкой, является ли элементом решетки, порожденным v 1 , … , v m , за исключением того, что здесь мы допускаем только линейные комбинации с неотрицательными коэффициентами.$u$$v_1,\dots,v_m$

Для всех, кто заинтересован, это мотивируется тем, что вектор Париха находится в линейном множестве, как в теореме Париха .

В частности, я заинтересован в алгоритме, который мог бы решить проблему, используя только операции с натуральными числами, избегая углубления в вещественные числа / числа с плавающей запятой.

$S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$$S$$T$$v_1,\ldots,v_{2n},u$$1 \leq i \leq n$$v_i$$v_{i,i} = 1$$v_{i,n+1} = s_i$$v_{n+i}$$v_{n+i,i} = 1$$u=1,\ldots,1,T$$v_1,\ldots,v_{2n}$$1,\ldots,1,\ast$$v_i,v_{n+i}$$S$