NP-полнота задачи раскраски графа

Альтернативная формулировка

Я придумал альтернативную формулировку нижеприведенной проблемы. Альтернативная формулировка на самом деле является частным случаем проблемы ниже и использует двудольные графы для описания проблемы. Тем не менее, я считаю, что альтернативная формулировка все еще NP-трудна. Альтернативная формулировка использует непересекающийся набор входящих и исходящих узлов, что упрощает определение проблемы.

Дано $n$ исходящих и входящих узлов (красный и синий узлы на рисунке соответственно) и набор размера весов ребер между исходящей и входящей вершинами. Цель задачи - закрасить толстые края на рисунке так, чтобы для каждого входящего узла выполнялось условие.$n$$w_{ij}$$n \times n$

Дано множество выходных вершин, набор входных вершин, весов между и для и положительной константы , найти минимальное количество цветов для ребер (толстые ребра на рисунке выше), такое что для всех ,$\{ O_i \; | \; i=1 \dots n \}$$\{ I_i\; | \; i=1 \dots n \}$$n \times n$$w_{ij} \ge 0$$O_i$$I_j$$i,j=1 \dots n$$\beta$$e_{ii}$$j=1 \dots n$

$$\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}} \ge \beta$$

где показывает цвет ребра .$c(i)$$e_{ii}$

Старая формулировка

Следующая проблема выглядит NP-трудной для меня, но я не мог показать это. Любое доказательство / комментарий, чтобы показать твердость или легкость этого приветствуется.

Предположим, что - полный взвешенный ориентированный граф с узлами и ребрами. Пусть показывает вес ребра а показывает цвет ребра . Для заданного подмножества ребер и положительной константы цель состоит в том, чтобы найти минимальное количество цветов, соответствующее каждому :$K_n=\langle V,E \rangle$$n$$n(n-1)$$w_{ij} \ge 0$$ij$$c(ij)$$ij$$T \subseteq E$$\beta$$e_{ij} \in T$

$$\frac{w_{ij}}{1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}} \ge \beta.$$ и $$c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$$

Обратите внимание, что в описанной выше проблеме только края в должны быть окрашены. Это проблема может быть решена в .$T$$\mathcal{O}(|T|!)$

Обновить:

После комментария Цуёси Ито я обновил проблему. Знаменатель изменен с на . Таким образом, знаменатель содержит вес за пределами , а также. Именно поэтому я упомянул полный граф в определении.$1+\sum_{c(kj)=c(ij),k \neq i,e_{kj} \in T} w_{kj}$$1+\sum_{c(kl)=c(ij),kl \neq ij} w_{kj}$$T$

Я также добавил дополнительное ограничение . Это означает, что исходящие ребра из узла должны быть разных цветов (но входящие цвета могут быть одинаковыми, пока выполняется неравенство). Это ставит интуитивное нижняя граница на количество цветов, которое является степенью вне максимум узлов .$c(ij) \neq c(ik) \quad for \quad j \neq k$$T$

Как упоминал Цуёси, , и являются входными данными для проблемы, а цвета кромок - выходными.$w_{ij}$$T$$\beta$

Обновление 2:

Проблема не приводит к тому, что ребра и одного цвета.$e_{ij}$$e_{ji}$

Довольно просто показать, что альтернативная формулировка NP-трудна. Сокращение происходит из задачи раскраски вершин. Учитывая граф G с вершинами, мы создаем экземпляр вышеупомянутой проблемы с n выходными вершинами и n входными вершинами. Веса устанавливаются следующим образом: для всех i пусть w i i = 1 . Для i ≠ j , если между вершиной i и вершиной j есть ребро , пусть w i j = w j i = 1 , иначе пусть w i $n$$n$$n$$i$$w_{ii}=1$$i \neq j$$i$$j$$w_{ij}=w_{ji}=1$ . Кроме того, пусть β = 1 .$w_{ij}=w_{ji}=0$$\beta=1$

Это довольно очевидно, но трудно описать, почему сокращение является правильным. Пусть показывает пример раскраски графа, а R - уменьшенный экземпляр задачи. Для того, чтобы показать выше сокращение дает правильное решение , нам нужно показать , что (1) каждый действительный красящая для R справедливо для C , а также. (2) ответ , данный R является минимальным для C .$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$

Если и J являются две соседние вершины С , то они должны иметь разные цвета в R . Это потому, что если i и j смежны и имеют одинаковый цвет, то доля w j $i$$j$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$i$$j$ приведет к$\frac{w_{jj}}{1+\sum_{c(i)=c(j),i \neq j} w_{ij}}$ , гдеXимеет положительное значение. Поэтому условие не выполняется. Кроме того, каждый действительный (но не обязательно минимальна) для окрашиванияC, является допустимым красящая дляRа также. Из этого следует, что при правильной раскраскеCкаждая пара смежных узлов имеет разные цвета, поэтому условие выполняется для всех цветных реберRв решении. Таккаждая раскраскаCявляется допустимым красящей дляR, минимальное решениеRдолжно быть минимальным решением дляC а также. В противном случае он не является минимальным, потому что решение$\frac{1}{1+X}$$X$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{R}$$\mathcal{R}$$\mathcal{C}$$\mathcal{C}$ дает решение с меньшим количеством цветов.

РЕДАКТИРОВАТЬ : Конструкция ниже не совсем работает, в соответствии с комментарием Tsuyoshi Ito ниже, он не обеспечивает, что . Я оставляю это на случай, если это будет полезным началом. Также T не должен включать дуги с весом 0 .$c(ij)=c(ji)$$T$$0$

$G=(V,E)$$D=(V,A)$$\forall uv\in E$$(u,v)$$(v,u)$$A$$a \in A$$w_{a} = 1$$\forall xy \notin E$$(x,y)$$(y,x)$$A$$w_{xy}=w_{yx}=0$$\beta$$1$$T=A$

$0$

$k$$NP$

$NP$