Теоремы Бриджа для теории групп и формальных языков

13

Есть ли какой-нибудь естественный или заметный способ связать или связать математические группы и формальные языки CS или какую-то другую основную концепцию CS, например машины Тьюринга?

Я ищу ссылки / приложения. Однако обратите внимание, что я знаю о связи между полугруппами и языками CS (а именно через конечные автоматы ). (Эта литература по полуавтоматам когда-либо смотрит на «групповые автоматы»?)

Много лет назад я видел одну статью, которая может приблизиться, которая преобразует таблицы переходов TM в бинарную операцию, возможно, иногда группу, в некоторых случаях, возможно, на основе некоторой симметрии в таблице состояний TM. В частности, он не исследовал это, но и не исключил.

Кроме того, в частности, что касается большого объема математических исследований по классификации конечных групп , имеет или может ли оно иметь какое-либо значение или интерпретацию в TCS? Как выглядит «алгоритмический объектив» этого огромного здания математического исследования? Что это «говорит» о возможной скрытой структуре в вычислениях?

Этот вопрос частично вдохновлен некоторыми другими примечаниями, например:

— ВЗН
источник

1

Вопрос о Mathoverflow связан с этим вопросом.

— scaaahu

Я думаю о том, чтобы переместить мой вопрос. Какой класс языков принимают DFA, чьи переходные моноиды являются транзитивными группами перестановок? на Math.SE здесь в зависимости от результата этого вопроса.

— scaaahu

@scaaahu Я думаю, что теория групп подходит лучше, чем комбинаторика . Также подумайте, что вам следует перенести вопрос о математике сюда в любом случае.

— Рафаэль

12

Позвольте мне сначала ответить на ваш вопрос: рассматривает ли когда-либо литература по полуавтоматам "групповые автоматы"? , Ответ - да. В своей книге (Автоматы, языки и машины. Том B, Academic Press) С. Эйленберг дал характеристику регулярных языков, распознаваемых конечными коммутативными группами и -группами. Подобные результаты известны для конечных нильпотентных групп, растворимых групп и сверхразрешимых групп. $p$

Конечные группы также играют важную роль в проблеме поиска полного набора тождеств для регулярных выражений. Бесконечный полный набор был предложен Джоном Конвеем, и эта гипотеза была в конечном счете доказана Д. Кробом. Существует конечное число «базовых» тождеств, плюс тождество для каждой конечной простой группы . Смотрите мой ответ на этот вопрос для справок.

В противоположном направлении теория конечных автоматов приводит к элементарному доказательству основных результатов по теории комбинаторных групп, таких как формула Шрайера. На основе оригинальной статьи Сталлингса « Топология конечных графов» .

Также в обратном направлении автоматические группы определяются в терминах конечных автоматов.

Profinite группы также играют важную роль в теории автоматов. Примером является характеристика регулярных языков, распознаваемых обратимо-переходными автоматами с возможно несколькими начальными и конечными состояниями.

Для очень хорошей связи между контекстно-свободными языками, группами и логикой, см. Статью Дэвида Э. Мюллера и Пола Э. Шуппа, Контекстно-свободные языки, группы, теория концов, логика второго порядка, проблемы листов, клеточный автоматы и системы векторного сложения .

— J.-E. Штырь
источник

р-группа / р-регулярный , Википедия

— vzn

@vzn Я не знал этой терминологии "p-регулярные языки", но на самом деле это языки, распознаваемые конечными группами, а не конечными

группами .

p

$p$

— Ж.-Е.

Ой, спасибо за разъяснение! р-группы ? Кстати, аналогично, вы знаете о каком-либо CS-соединении для бесконечных групп?

— ВЗН

@vzn В работе Мюллера и Шуппа рассматриваются бесконечные группы. Это породило понятие контекстно-свободной группы . Точно так же свободные проконечные группы бесконечны.

— Ж.-Е.

@vzn Я также добавил автоматические группы в свой ответ. Об этих группах имеется большая литература.

— Ж.-Е.

11

$^1$ $S_5$ $A_5$

Что касается классификации конечных простых групп, насколько я помню, она неявно используется в некоторых алгоритмах для изоморфизма групп - проблема, связанная с изоморфизмом графов.

— Юваль Фильмус
источник

1

Юваль, я думаю, что вы имеете в виду проблему группового изоморфизма (с группами, представленными в виде таблиц умножения) для конечных простых групп. По классификации, они имеют генераторный набор размером не более двух, что дает очень простой алгоритм: mathoverflow.net/questions/59213/… .

— Сашо Николов

10

$g_1, ..., g_m$ $a_1 = b_1, ..., a_n = b_n$ $x, y \in \{g_1, ..., g_m\}^*$ $\{g_1, ..., g_m\}$ $x = y$ .

Есть много глубоких результатов, дающих условия для классов групп, имеющих разрешимые проблемы со словами. Также интересно изучить сложность решения проблем со словами (для классов групп, в которых есть разрешимая проблема со словами), см., Например, здесь .

— Мартин Бергер
источник

Эта сложность решения словесных задач была именно тем, что я искал. Представляется интересным установить соответствие (эквивалентность?) Вероятностному полиномиальному тестированию идентичности, если для свободной группы используется прямолинейное представление программы (что также применимо к тестированию идентичности для свободного моноида).

— Томас Климпел

@ThomasKlimpel Не могли бы вы рассказать подробнее об отношениях с PIT?

— Мартин Бергер

Что ж, получается, что на самом деле это PIT постоянных многоугольников (то есть без переменных) над Z. Это соотношение происходит из-за умножения целочисленных матриц 2x2, потому что это умножение может быть выполнено полностью в прямолинейном представлении программы. Но даже для PIT постоянных многоугольников над Z в настоящее время не существует известной дерандомизации, поэтому, тем не менее, это может быть хорошим отношением.

— Томас Климпел

-1

С помощью Google я нашел статью « Относительно бесплатные проконечные моноиды: введение и примеры в полугруппах, формальных языках и группах » Хорхе Алмейды (английский перевод в журнале математических наук , 144 (2): 3881–3903, 2007) на эта тема.

— Сюань-готфрид Ян
источник

4

Добро пожаловать на сайт! Я отредактировал ваш пост, включив в него полную цитату на случай, если ссылка умрет. Было бы полезно, если бы вы могли дать немного больше информации о том, как эта статья отвечает на вопрос.

— Дэвид Ричерби