Самый длинный цикл состоит из двух циклов

Является ли следующая задача NP-полной? (Я предполагаю, что да).

Входные данные: - неориентированный граф, в котором множество ребер можно разложить на два простых цикла, не пересекающих ребра (они не являются частью входных данных). $k \in \mathbb{N},G=(V,E)$

Вопрос: существует ли простой цикл в с длиной больше ? $G$ $k$

Очевидно, что проблема в NP, и максимальная степень в равна , но это, похоже, не помогает. $G$ $\leq 4$

graph-theory np-complete decision-problem

— Листинг
источник

Я не думаю, что вы правы насчет "не более 4 путей, соединяющих любую пару". См .: i.imgur.com/mYL4n1V.png

— svinja

@svinja Вы правы, я должен был сказать, что между любой парой из двух вершин существует не более 4 парных непересекающихся путей.

— Объявление

Ваш заголовок вводит в заблуждение, потому что самый длинный простой цикл не может быть ни одним из двух циклов в разложении

(в любом разложении).

E

$E$

— Денис

@dkuper это может на самом деле, посмотрите на объединение двух вершин непересекающихся простых циклов.

— Листинг

Моя точка зрения не в том, что он никогда не может быть одним из них, а в том, что иногда это не один из них. Так что проблема не в том, чтобы найти большее из двух.

— Денис

Ответы:

Попытка сокращения ....

Сокращение от гамильтонова пути на орграфе с максимальной степенью 3, которое является NPC [G & J] $G = (V,E)$

игнорировать направление ребер и, используя первое сканирование глубины (ненаправленное) от произвольного узла, разделить ребра на два набора отличных (ненаправленных) путей (красный и зеленый на рисунках); $G$
соедините красные пути, добавив дополнительные «связывающие узлы» (фиолетовые узлы на рисунке B) и сделайте неориентированный красный контур; соедините зеленые пути, добавив дополнительные «связывающие узлы» (фиолетовые узлы на рисунке) и сделайте неориентированный зеленый контур;
преобразовать каждый исходный узел из степени 1 и степени 2 (рисунок C), добавив желтых узлов на входящий красный край $b \in V$ $k$ и добавив желтых узлов на первый исходящийкрасныйкрай ; наконец, добавьте желтых узлов «по направлению» ко второму исходящемузеленомукраю используя «обернутый» путь вокруг который касается крайних желтых узлов красных краев (рисунок D). $a\to b$ $k$ $b \to c$ $k$ $b \to d$ $b$

В полученном графике все желтые узлы могут перемещаться с помощью простого пути только в двух направлениях показали на рисунке E и F, фигуры , которые соответствуют двум действительным прохождений исходного узла ; неформально , если ребро к EXTRA «связывая» фиолетовый узел используется, - желтые узлы не могут перемещаться. $3k$ $b \in V$ $k$

преобразовать каждый оригинальный узел V от 2 и полустепени захода полустепени 1 аналогичным образом

Подбор достаточно большой , граф результатов $k \gg |V|$ $G'$ есть простой путь длины больше тогда и только тогда, когда исходный граф имеет гамильтонов путь (длины ) $3k(|V|-1)$ $G$ $|V|-1$

введите описание изображения здесь

Большую картину можно скачать здесь

— Вор
источник

Это очень красивое доказательство, может быть, вам следует направить края на рисунке «А», чтобы было легче понять, как получить пути (хотя я думаю, что я это понял).

— Листинг

@Listing: строительство путей не зависит от ориентированных ребер ( на самом деле я написал «неориентированный» поиск в ответе). Вы должны начать с произвольного узла, сначала выполнить сканирование по глубине, раскрасив его красными пройденными краями, затем вернуться к первому обнаруженному узлу степени 3 и продолжить сначала сканирование по глубине, покрасив его зелеными пройденными ребрами, и так далее. .. возможно, имеет более формальное определение, но он не приходит на ум прямо сейчас. Дайте мне знать, если вам нужна дополнительная информация.

— Вор

Я вижу, свойство, по которому ребра проходят в «правильном» направлении, обеспечивается последним преобразованием. Спасибо за разъяснение.

— Объявление

Вдохновленный ответом Вора, я хочу дать более простой.

Начнем с задачи о гамильтоновом цикле для задачи сеточных графов, которая была доказана Итаем.

Легко видеть, что множество ребер графа сетки можно разбить на 2 непересекающихся подмножества: горизонтальное и вертикальное.

Итак, теперь нам нужно сплести все горизонтальные в один простой цикл, а все вертикальные - в другой простой цикл.

Это очень простая задача: для вертикальных разверните от крайнего левого до крайнего правого положения, просто соедините все вертикальные промежутки, затем соедините последовательную вертикальную линию, скоординированную по X, затем соедините самую нижнюю левую вершину с самой высокой правой вершиной. Сделайте аналогично для горизонтальных краев.

Обратите внимание, что полученный граф все еще прост, неориентирован и удовлетворяет требованию. Это просто, потому что на последних этапах вертикальной фазы и горизонтальной фазы мы имеем дело с двумя различными парами вершин.

Теперь сделайте тот же трюк, что и Вор. В каждой вершине для каждого ее исходного инцидентного ребра добавьте $k$ новых вершин. Как обычно, $k$ ahouls должны быть достаточно большими. Наконец, длина подлинного гамильтонова цикла должна быть $2k|V|$

— Тхин Д. Нгуен
источник