Как практически построить регулярные графы расширителей?

Мне нужно построить d-регулярный граф экспандера для некоторого небольшого фиксированного d (например, 3 или 4) из n вершин.

Какой самый простой способ сделать это на практике? Построение случайного d-регулярного графа, который оказался расширителем?

Я также читал о конструкциях Маргулиса и графах Рамануджана, которые являются расширителями и конструкцией, использующей зигзагообразный продукт. Википедия дает хороший, но очень краткий обзор: http://en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph#cite_note-10 Но какой метод выбрать на практике?

Для меня эти методы кажутся очень сложными для реализации и, в частности, для понимания и, возможно, довольно конкретными. Разве нет более простых методов, возможно, основанных на перестановках или около того, для практической генерации последовательности d-регулярных графов расширителей?

Может быть, проще построить d-регулярные двудольные графы расширителей?

У меня также есть другой вопрос: как насчет семей плохих d-регулярных расширителей? Имеет ли такое понятие смысл? Можно ли построить семейство d-регулярных графов (которые, конечно, связаны), которые настолько плохи, насколько это возможно в смысле расширителя?

Заранее спасибо.

— user2145167
источник

Существуют более простые явные конструкции, чем те, которые вы перечислили, но случайные графы должны справиться с задачей и иметь лучшие параметры.

— Юваль Фильмус

Можете ли вы дать имена или ссылки на конструкции? Под лучшими параметрами вы подразумеваете лучшее (граничное) расширение, я полагаю?

— user2145167

Андрас привел пример, который я имел в виду, но в целом случайные графы (почти всегда) лучше явных конструкций. Мало того, что расширение ребер больше, любое другое подобное свойство, которое полезно для вашего алгоритма, вероятно, автоматически удовлетворяется случайными графами.

— Юваль Фильмус

Хорошо, для степени 3 пример Андра или случайные графики кажутся достаточно хорошими для моего приложения. Было бы интересно, в частности, в отношении случайных графов, построить семейство 3-рег графов, которое не является расширителем. Но это наверное очень сложно или не возможно?

— user2145167

Возьми союз из с. Если вы хотите подключенный граф, удалите одно ребро из каждого (образуя граф, известный как граф ромб) и соедините их в цикле.

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

— Юваль Фильмус

Ответы:

Если вы не возражаете против графиков с самоконтролями, вероятно, это «простейшее» семейство экспандеров, дающее экспандеры, которые являются 3-регулярными.

Начните с некоторого простого числа и постройте вершины с номерами от до . Для каждой вершины соедините с и по модулю . Также соедините с уникальной вершиной такой что . $p$ $0$ $p-1$ $u \ne 0$ $u$ $u-1$ $u+1$ $p$ $u$ $v$ $uv \equiv 1 \mod p$

Например, 7-вершинный граф в семействе представляет собой 7-цикл с вершинами, пронумерованными последовательно вокруг цикла; есть самопетли на , и ; наконец, есть аккорды, соединяющие и , и и . $6$ $0$ $1$ $3$ $5$ $2$ $4$

См. Https://mathoverflow.net/questions/124708/an-expander-graph для дальнейшего обсуждения и ссылок. Есть много более подробных указателей , выполнив поиск по " expander " в CSTheory , Math.SE и MO .

Как указывает Ювал Фильмус, случайная конструкция, скорее всего, даст лучшие результаты в целом, но, конечно, может не дать расширителя (особенно для небольших графиков).

— Андраш Саламон
источник

Спасибо за замечание. Я уже искал расширители ранее на других сайтах, но не на МО, действительно, кажется, результатов больше.

— user2145167

Поскольку случайный регулярный граф является расширителем whp (следуйте ссылке, приведенной в документации по коду MATLAB, указанному ниже), я однажды использовал следующее:

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29786-random-regular-generator/content/randRegGraph/createRandRegGraph.m

— Хода
источник