Проблема с галькой

Pebbling - это пасьянс, в который играют на неориентированном графе , где каждая вершина имеет ноль или более камешков. Один шаг гальки состоит из удаления двух камешков из вершины и добавления одного камешка к произвольному соседу . (Очевидно, что у вершины v должно быть как минимум два камешка перед перемещением.) Задача PebbleDestruction спрашивает, учитывая граф и число камешков для каждой вершины , существует ли последовательность движется галечник, который удаляет все, кроме одного камешка. Докажите, что PebbleDestruction является NP-полным. $G$ $v$ $v$ $G = ( V; E )$ $p ( v )$ $v$

Во-первых, я показываю, что это в NP, так как я могу проверить решение за полиномиальное время, отслеживая количество гальки только из одной гальки.

Далее, каковы некоторые идеи о том, какие проблемы использовать в качестве основы для сокращения полиномиального времени?

Будет ли работать что-то вроде покрытия вершины? Или вершинная оболочка разных размеров?

Если да, то как он может справиться с различным количеством камешков на каждом ходу?

Благодарю вас.

От: http://courses.engr.illinois.edu/cs473/sp2011/hw/disc/disc_14.pdf

algorithms graph-theory np-complete

— TT
источник

Разве так просто показать, что проблема в NP? Разве число ходов не может быть экспоненциальным по размеру ввода?

— Виниций душ Сантуш

@ViniciusSantos, количество ходов не может быть больше, чем количество камешков (которое также является частью ввода).

Но мы можем предположить, что количество камешков в двоичном, верно? В этом случае размер входных данных является логарифмическим по количеству камешков. Я все еще думаю, что есть короткий сертификат для проблемы, но, насколько я понимаю, список ходов не один.

— Виниций душ Сантуш

@ViniciusdosSantos, может быть, вы не заметили, что весь граф является входным, с другой стороны, число камешков для каждой вершины (p (v)) должно быть ограничено размером графа, в противном случае проверяется, является ли последовательность ходов действительный или не нуждается в экспоненциальной. И я считаю правильным предположить, что количество камешков в каждой вершине не более n.

Я согласен с тем, что если количество камешков в каждой вершине полиномиально ограничено размером графа, чем тривиально в NP. Но я думаю, что это предположение не является необходимым, хотя без него доказательство становится сложнее.

— Виниций душ Сантуш

Предположим, что в графе есть одна галька на каждой вершине, кроме одной вершины с , тогда вышеупомянутая проблема гальки имеет решение на имеет гамильтонову цепь. Это легко проверить, есть ли гамильтонов цикл, то есть решение для pebbling на . С другой стороны, в любом решении гальки мы должны начинать с вершины . Предположим, что мы дважды посещаем некоторую вершину , так что эта является первой вершиной, которая дважды посетила в $G$ $v$ $p(v) = 2$ $G \space iff \space G$ $G$ $v$ $u$ $u$ $G$ $u$ $u$ $u$ $p(u) = 1$ $u=v$ $v$