Существует ли теорема, в которой говорится, что сходится по распределению к нормали, когда стремится к бесконечности?

Пусть будет любым распределением с определенным средним значением и стандартным отклонением . Центральная предельная теорема говорит, что сходится по распределению к стандартному нормальному распределению. Если мы заменим типовым стандартным отклонением , существует ли теорема о том, что сходится по распределению к t-распределению? Так как для больших$X$$\mu$$\sigma$

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$$ $\sigma$$S$ $$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$$ $n$t-распределение приближается к нормальному, теорема, если она существует, может утверждать, что предел является стандартным нормальным распределением. Следовательно, мне кажется, что t-распределения не очень полезны - что они полезны только тогда, когда является примерно нормальным. Это тот случай? $X$

Если это возможно, укажите ли вы ссылки, содержащие доказательство этого CLT, когда заменяется на ? Такая ссылка предпочтительно может использовать концепции теории меры. Но все было бы здорово для меня на этом этапе.$\sigma$$S$

Чтобы уточнить комментарий @cardinal, рассмотрим iid-образец размера из случайной величины с некоторым распределением и конечными моментами, средним значением и стандартным отклонением . Определить случайную величину$n$$X$$\mu$$\sigma$

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ Основная центральная предельная теорема гласит, что $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

Рассмотрим теперь случайную величину , где является выборочное стандартное отклонение .$Y_n = \frac 1{S_n}$$S_n$$X$

Выборка iid, поэтому выборочные моменты последовательно оценивают моменты населения. Так

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$$

Введите @cardinal: теорема Слуцкого (или лемма) говорит, среди прочего, что где - константа , Это наш случай так

$$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ $c$

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

Что касается полезности распределения Стьюдента, я только отмечаю, что в его «традиционных применениях», связанных со статистическими тестами, он все еще необходим, когда размеры выборки действительно малы (и мы все еще сталкиваемся с такими случаями), но также и то, что он имеет широко применялись к модельным авторегрессионным рядам с (условной) гетероскедастичностью, особенно в контексте эконометрики финансов, где такие данные возникают часто.