Формула замкнутой формы для функции распределения, включая асимметрию и эксцесс?

13

Есть ли такая формула? Учитывая набор данных, для которых среднее значение, дисперсия, асимметрия и эксцесс известны или могут быть измерены, существует ли единая формула, которую можно использовать для расчета плотности вероятности значения, предположительно полученного из вышеупомянутых данных?

— babelproofreader
источник

Для любого нормального (гауссова) распределения асимметрия равна

поскольку она симметрична, а избыточный эксцесс также равен

из свойств нормального распределения. Для других распределений среднее значение, дисперсия, асимметрия и эксцесс недостаточно для определения распределения, хотя обычно можно найти примеры.

0

$0$

0

$0$

— Генри

1

@ Генри На самом деле, в большинстве семейств

-параметров с

первых четырех моментов, которые можно восстановить по среднему значению, дисперсии, асимметрии и эксцессу, обычно достаточно для определения распределения.

k

$k$

k \leq 4

$k \le 4$

— whuber

@whuber: Это выглядит для меня как слегка округлое: ограничение распространения семейством, в котором имеется четыре или менее параметров, зная, что четыре статистики распределения часто определяют параметры. Я согласен. Но одна из моих точек зрения заключалась в том, что неограниченно существуют различные возможности распределений с существенно изменяющимися плотностями вероятности в конкретных точках даже с одинаковыми первыми четырьмя моментами в целом.

— Генри

1

Я понимаю, что вы имеете в виду, Генри: под «другими распределениями» вы подразумевали в широком смысле слова, в то время как в моем ответе оно понималось в смысле распределений, обычно используемых в статистике (которые редко имеют более четырех параметров). Я думаю, что ваш кодициль - «хотя примеры обычно можно найти» - возможно, предложил мою более узкую интерпретацию.

— whuber

12

Таких формул много. Первая успешная попытка решить именно эту проблему была предпринята Карлом Пирсоном в 1895 году, что в конечном итоге привело к системе распределений Пирсона . Это семейство может быть параметризовано по среднему значению, дисперсии, асимметрии и эксцессу. Он включает в себя, как знакомые особые случаи, распределения Normal, Student-t, Chi-square, Inverse Gamma и F. Kendall & Stuart Vol 1 дают подробности и примеры.

— Whuber
источник

7

Это звучит как подход «согласования моментов» для подгонки распределения к данным. Как правило, это считается плохой идеей (заголовок поста Джона Кука «статистический тупик»).

— shabbychef
источник

1

K2-тест Д'Агостино покажет вам, было ли распределение выборки получено из нормального распределения, основанного на асимметрии и эксцессе образца.

Если вы хотите выполнить тест, предполагающий ненормальное распределение (возможно, с высоким перекосом или эксцессом), вам необходимо выяснить, что такое распределение. Вы можете посмотреть на асимметричное нормальное распределение и обобщенное нормальное распределение . Если вы сделаете это, вы рассмотрите и другие дистрибутивы.

— Томас Левайн
источник