Если ,

9

Предположим следующее:
Пусть $Z_i = \min\{k_i, X_i\}, i=1,...,n$ . Также $X_i \sim U[a_i, b_i], \; a_i, b_i >0$ . Кроме того, $k_i = ca_i + (1-c)b_i,\;\; 0<c<1$ т.е. $k_i$ является выпуклой комбинацией границ соответствующих опор. $c$ является общим для всех $i$ .

Я думаю, что у меня есть правильное распределение $Z_i$ : это смешанное распределение .
Он имеет непрерывную часть,

{Икс}_{я} \in [a_{я}, К_{я}), Z_{я} знак равно {Икс}_{я} \Rightarrow Pr (Z_{я} \leq Z_{я}) знак равно \frac{Z_{я} - a_{я}}{б_{я} - a_{я}}

$X_i \in [a_i, k_i), Z_i=X_i \Rightarrow \Pr(Z_i \le z_i) = \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}$ а затем разрыв и дискретную часть, где вероятностные массовые концентрации:

Pr (Z_{я} знак равно К_{я}) знак равно Pr ({Икс}_{я} > К_{я}) знак равно 1 - Pr ({Икс}_{я} \leq К_{я})

$\Pr(Z_i=k_i) = \Pr(X_i > k_i) = 1- \Pr(X_i \le k_i)$

знак равно 1 - \frac{К_{я} - a_{я}}{б_{я} - a_{я}} знак равно 1 - \frac{(1 - с) (б_{я} - a_{я})}{б_{я} - a_{я}} знак равно с

$= 1- \frac {k_i - a_i}{b_i-a_i} = 1-\frac {(1-c)(b_i-a_i)}{b_i-a_i} =c$

Таким образом, во всех

F_{Z_{я}} (Z_{я}) знак равно {\begin{cases} 0 Z_{я} < a_{я} \\ \frac{Z_{я} - a_{я}}{б_{я} - a_{я}} a_{я} \leq Z_{я} < К_{я} \\ 1 К_{я} \leq Z_{я} \end{cases}

$F_{Z_i}(z_i) = \begin{cases} 0\qquad z_i<a_i\\ \\ \frac {z_i-a_i}{b_i-a_i}\qquad a_i\le z_i<k_i \\ \\1\qquad k_i\le z_i\end{cases}$

в то время как для смешанной «дискретной / непрерывной» функции масса / плотность она равна $0$ вне интервала $[a_i, k_i]$ , она имеет непрерывную часть, которая является плотностью равномерной $U(a_i, b_i)$ , $\frac {1}{b_i-a_i}$ но для $a_i\le z_i<k_i$ , и он концентрирует массу положительной вероятности $c >0$ при $z_i = k_i$ .

В целом это сводится к единству над реалами.

Я хотел бы иметь возможность получить или сказать что-то о распределении и / или моментах случайной величины $S_n \equiv \sum_{i=1}^n Z_i$ , как $n\rightarrow \infty$ .

Скажем, если независимы, это выглядит как как . Могу ли я «игнорировать» эту часть, даже в качестве приблизительного? Тогда у меня останется случайная величина, которая находится в интервале , похожий на сумму цензурированных униформ, на пути к тому, чтобы стать «нецензурированным», и поэтому, может быть, какая-то центральная предельная теорема ... но я, вероятно, расходюсь, а не сходлюсь здесь, так что, есть предложения? $X_i$ $\Pr(S_n = \sum_i^nk_i) = c^n \rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $[\sum_{i=1}^na_i,\; \sum_{i=1}^nk_i)$

PS: Этот вопрос актуален, получая распределение суммы цензурированных переменных , но ответ @Glen_b не тот, который мне нужен - мне нужно работать над этим аналитически, даже используя приближения. Это исследование, поэтому, пожалуйста, относитесь к нему как к домашней работе - общие предложения или ссылки на литературу достаточно хороши.

— Алекос Пападопулос
источник

Если вам это нужно, запишите распределение как с подходящим , в котором - борелевское множество.

Z_{i}

$Z_i$

μ_{Z_{i}} (B) = P (Z_{i} \in B) = \int_{B} g (t) d t + c I_{B} (k_{i})

$\mu_{Z_i}(B)=P(Z_i\in B)=\int_B g(t)\,dt +c\,I_B(k_i)$

g

$g$

B

$B$

— Дзен

@ Zen Я уже писал в вопросе, что распределение является прерывистым. Также RHS для делает очевидным, что это означает плотность в , но для вероятности для -и я предпочитаю компактные обозначения.

f

$f$

f

$f$

[a_{i}, k_{i})

$[a_i,k_i)$

k_{i}

$k_i$

— Алекос Пападопулос

Насколько я знаю, это обозначение с было pdf и pmf не существует; и у нас есть соответствующий математический язык для точного описания смешанных распределений. Я сомневаюсь, что эта запись будет принята, когда вы опубликуете свое исследование. Просто мое мнение, конечно. Вы всегда должны делать это так, как вам нравится.

f

$f$

— Дзен

@Zen Publishing далеко впереди - и действительно, рецензенты нахмурились, увидев неустановленную запись. Это просто сокращение, когда нужно описать пошаговое распределение во многих строках. Нет никакого «аргумента в пользу» этого и против установленной записи, как, например, тот, который вы использовали в предыдущем комментарии.

— Алекос Пападопулос

5

Я бы последовал совету Генри и проверил бы Ляпунова с . Тот факт, что распределения являются смешанными, не должен быть проблемой, если и ведут себя правильно. Моделирование частного случая, в котором , , для каждого показывает, что нормальность в порядке. $\delta=1$ $a_i$ $b_i$ $a_i=0$ $b_i=1$ $k_i=2/3$ $i\geq 1$

xbar <- replicate(10^4, mean(pmin(runif(10^4), 2/3)))
hist((xbar - mean(xbar)) / sd(xbar), breaks = "FD", freq = FALSE)
curve(dnorm, col = "blue", lwd = 2, add = TRUE)

CLT

— Zen
источник

Действительно довольно нормально. Хорошо знать. Обычные условия для CLT никогда не были проблемой здесь, мой вопрос был, были ли другие, возможно тонкие проблемы, которые искажали асимптотический результат и требовали модифицированного CLT. Ваше моделирование показывает, что на самом деле дискретный разрыв становится пренебрежимо малым по вероятности, когда в сумму входит больше переменных.

— Алекос Пападопулос

Ничего конкретного, но они не создают никаких проблем. Думайте о них так же, как вели себя конечные числа, независимые от индекса . Они могут увеличивать или уменьшать , как не расту (не правила конкретного), а не какая - либо один из них несоизмеримо больше , чем другие ... они представляют собой различие в размерах , тем не менее «сравнимых» сущностей. Таким образом, условие Линдеберга, безусловно, выполняется

i

$i$

i

$i$

— Алекос Пападопулос

Ницца. Удачи в следующих шагах. Похоже, интересная проблема.

— Дзен

3

подсказки:

Предполагая, что фиксировано и независимы, вы можете вычислить среднее значение и дисперсию для каждого : например, и вы знаете, что . $c$ $X_i$ $\mu_i$ $\sigma_i^2$ $Z_i$ $\mu_i=E[ Z_i] = c\frac{a_i+k_i}{2} + (1-c)k_i$ $k_i = ca_i + (1-c)b_i$

Затем, если и не растут слишком быстро, вы можете использовать условия Ляпунова или Линдеберга, чтобы применить центральную предельную теорему с выводом, что сходится по распределению к стандартной нормали или в смысле рукой приблизительно нормально распределяется со средним значением и дисперсия . $a_i$ $b_i$ $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\sum_1^n \sigma_i^2}}\left(\sum_1^n Z_i - \sum_1^n \mu_i\right)$ $\sum_1^n Z_i$ $\sum_1^n \mu_i$ $\sum_1^n \sigma_i^2$

— Генри
источник

Спасибо. С и проблем нет , они не растут с индексом, они просто колеблются вокруг. Таким образом, вы говорите по существу, что CLT может охватывать также случайные переменные со смешанным распределением?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— Алекос Пападопулос

Например, если бы и были фиксированными, то у вас были бы независимые одинаково распределенные случайные величины с конечной дисперсией, поэтому применима центральная предельная теорема. Является ли это распределением смеси или нет, это не влияет на этот результат. Я хочу сказать, что вы можете распространить это на случаи, когда случайные переменные независимы, но не распределены одинаково, при условии, что средние значения и различия остаются разумными.

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

— Генри

2

Мое главное беспокойство в этом вопросе заключалось в том, можно ли применять CLT «как обычно» в случае, который я рассматриваю. Пользователь @Henry утверждал, что можно, пользователь @Zen показал это с помощью симуляции. Ободренный, сейчас я докажу это аналитически.

Сначала я хочу убедиться, что эта переменная со смешанным распределением имеет «обычную» функцию генерации моментов. Обозначим ожидаемое значение , его стандартное отклонение и центрированную и масштабированную версию через . Применяя изменение-о-переменной формулы мы находим , что непрерывная часть Производящая момент функция должна быть $\mu_i$ $Z_i$ $\sigma_i$ $Z_i$ $\tilde Z_i = \frac {Z_i-\mu_i}{\sigma_i}$

е_{\tilde{Z}} ({\tilde{Z}}_{я}) знак равно σ_{я} е_{Z} (Z_{я}) знак равно \frac{σ_{я}}{б_{я} - a_{я}}

$f_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \sigma_if_Z(z_i) = \frac {\sigma_i}{b_i-a_i}$

{\tilde{Z}}_{i}

$\tilde Z_i$

{\tilde{M}}_{я} (T) знак равно Е (е^{{\tilde{Z}}_{я} T}) знак равно \int_{- \infty}^{\infty} е^{{\tilde{Z}}_{я} T} d F_{\tilde{Z}} ({\tilde{Z}}_{я}) знак равно \int_{{\tilde{a}}_{я}}^{{\tilde{К}}_{я}} \frac{σ_{я} е^{{\tilde{Z}}_{я} T}}{б_{я} - a_{я}} d Z_{я} + с е^{{\tilde{К}}_{я} T}

$\tilde M_i(t) = E(e^{\tilde z_it}) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{\tilde z_it}dF_{\tilde Z}(\tilde z_i) = \int_{\tilde a_i}^{\tilde k_i}\frac{\sigma_ie^{\tilde z_it}}{b_i-a_i}dz_i + ce^{\tilde k_it}$

\Rightarrow {\tilde{M}}_{я} (T) знак равно \frac{σ_{я}}{б_{я} - a_{я}} \frac{е^{{\tilde{К}}_{я} T} - е^{{\tilde{a}}_{я} T}}{T} + с е^{{\tilde{К}}_{я} T}

$\Rightarrow \tilde M_i(t)=\frac {\sigma_i}{b_i-a_i}\frac{e^{\tilde k_it}-e^{\tilde a_it}}{t} +ce^{\tilde k_it}$ с

{\tilde{К}}_{я} знак равно \frac{К_{я} - μ_{я}}{σ_{я}}, {\tilde{a}}_{я} знак равно \frac{a_{я} - μ_{я}}{σ_{я}}

$\tilde k_i = \frac {k_i-\mu_i}{\sigma_i},\;\; \tilde a_i = \frac {a_i-\mu_i}{\sigma_i}$

Используя простые числа для обозначения производных, если мы правильно указали функцию, производящую момент, то мы должны получить так как это центрированная и масштабированная случайная величина. И действительно, вычисляя производные, применяя правило Лопиталя много раз (поскольку значение MGF в нуле должно быть рассчитано через пределы) и выполняя алгебраические манипуляции, я проверил первые два равенства. Третье равенство оказалось слишком утомительным, но я верю, что оно справедливо.

{\tilde{M}}_{я} (0) знак равно 1, {\tilde{M}}_{я}^{'} (0) знак равно Е (\tilde{Z}) знак равно 0 \Rightarrow {\tilde{M}}_{я}^{"} (0) знак равно Е ({\tilde{Z}}_{я}^{2}) знак равно Var ({\tilde{Z}}_{я}) знак равно 1

$\tilde M_i(0) = 1, \;\; \tilde M_i'(0) = E(\tilde Z) = 0 \Rightarrow \tilde M_i''(0) = E(\tilde Z_i^2) = \operatorname {Var}(\tilde Z_i)=1$

Таким образом, у нас есть правильный MGF. Если мы возьмем его разложение Тейлора 2-го порядка около нуля, мы имеем

\tilde{M} (T) знак равно \tilde{M} (0) + {\tilde{M}}^{'} (0) T + \frac{1}{2} {\tilde{M}}^{"} (0) T^{2} + о (T^{2})

$\tilde M(t) = \tilde M(0) + \tilde M'(0)t +\frac 12\tilde M''(0)t^2 + o(t^2)$

\Rightarrow \tilde{M} (T) знак равно 1 + \frac{1}{2} T^{2} + о (T^{2})

$\Rightarrow \tilde M(t) = 1 + \frac 12t^2+ o(t^2)$

Это означает, что характеристическая функция (здесь обозначает мнимую единицу) . $i$

\tilde{φ} (T) знак равно 1 + \frac{1}{2} (я T)^{2} + о (T^{2}) знак равно 1 - \frac{1}{2} T^{2} + о (T^{2})

$\tilde \phi(t) = 1 + \frac 12 (it)^2 + o(t^2)= 1 - \frac 12 t^2 + o(t^2)$

По свойствам характеристической функции имеем, что характеристическая функция равна $\tilde Z/\sqrt n$

{\tilde{φ}}_{\tilde{Z} / \sqrt{N}} (T) знак равно {\tilde{φ}}_{\tilde{Z}} (T / \sqrt{N}) знак равно 1 - \frac{T^{2}}{2 N} + о (T^{2} / N)

$\tilde \phi_{\tilde Z/\sqrt n}(t)=\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n) = 1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)$

и поскольку у нас есть независимые случайные величины, характеристическая функция равна $\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i$

{\tilde{φ}}_{\frac{1}{\sqrt{N}} Σ_{я}^{N} {\tilde{Z}}_{я}} (T) знак равно Π_{я знак равно 1}^{N} {\tilde{φ}}_{\tilde{Z}} (T / \sqrt{N}) знак равно Π_{я знак равно 1}^{N} (1 - \frac{T^{2}}{2 N} + о (T^{2} / N))

$\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t)= \prod_{i=1}^n\tilde \phi_{\tilde Z}(t/\sqrt n)=\prod_{i=1}^n\left(1 - \frac {t^2}{2n} + o(t^2/n)\right)$

затем

\underset{N \to \infty}{Ит} {\tilde{φ}}_{\frac{1}{\sqrt{N}} Σ_{я}^{N} {\tilde{Z}}_{я}} (T) знак равно \underset{N \to \infty}{Ит} {(1 - \frac{T^{2}}{2 N})}^{N} знак равно е^{- T^{2} / 2}

$\lim_{n\rightarrow \infty}\tilde \phi_{\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i}(t) = \lim_{n\rightarrow \infty}\left(1 - \frac {t^2}{2n}\right)^n = e^{-t^2/2}$

по какому числу представлена $e$ . Так получилось, что последний член является характеристической функцией стандартного нормального распределения, и по теореме Леви о непрерывности имеем

\frac{1}{\sqrt{N}} Σ_{я}^{N} {\tilde{Z}}_{я} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac 1{\sqrt n}\sum_i^n\tilde Z_i \xrightarrow{d} N(0,1)$

который является CLT. Обратите внимание, что тот факт, что переменные не являются одинаково распределенными, «исчез» из поля зрения, как только мы рассмотрели их центрированные и масштабированные версии и рассмотрели разложение Тейлора 2-го порядка их MGF / CHF: на этом уровне приближения эти функции идентичны, и все различия сжаты в остальных терминах, которые исчезают асимптотически. $Z$

Тот факт, что характерное поведение на индивидуальном уровне от всех отдельных элементов, тем не менее, исчезает, когда мы рассматриваем среднее поведение, я считаю, что это очень хорошо демонстрируется использованием мерзкого существа, подобного случайной переменной, имеющей смешанное распределение.

— Алекос Пападопулос
источник

Действительно круто, Алекос. Мне кажется, что аргумент должен зависеть от более конкретных условий на и . Например: доказательство разрушается, если быстро? (Я знаю, что в вашем приложении этого не происходит.) Как вы думаете?

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

(b_{i} - a_{i}) ↓ 0

$(b_i-a_i)\downarrow 0$

— Zen

@Zen Проблема, касающаяся различий независимых, но не идентично распределенных rv, очень тонкая, я не думаю, что до сих пор ясно понимаю ее. Известные условия Ляпунова или Линдеберга достаточны только для выполнения CLT. Есть случаи, когда CLT выполняется, хотя эти условия не выполняются. Поэтому я думаю, что если мы не ограничим дисперсию, то единого ответа не будет, и проблема станет полностью конкретной. Даже книга Биллингсли не ясна по этому вопросу. Вопрос в том, как будет выглядеть остаток, и что мы можем сказать об этом.

— Алекос Пападопулос