Ожидаемое количество соотношение девочек и мальчиков при рождении

Я наткнулся на вопрос в тесте на собеседование на предмет критического мышления. Это выглядит примерно так:

У Zorganian республики есть некоторые очень странные обычаи. Семейные пары хотят иметь только детей женского пола, поскольку только женщины могут наследовать богатство семьи, поэтому, если у них есть ребенок мужского пола, у них остается больше детей, пока у них не появится девочка. Если у них есть девушка, они перестают иметь детей. Каково соотношение девочек и мальчиков в Зоргании?

Я не согласен с модельным ответом, данным автором вопроса, который составляет около 1: 1. Оправданием было то, что любое рождение всегда будет иметь 50% шансов быть мужчиной или женщиной.

Можете ли вы убедить меня более математическим и энергичным ответом если - это число девочек, а B - это количество мальчиков в стране?$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

Начать без детей

повторить шаг

{

У каждой пары, у которой еще есть дети, есть ребенок. Половина пар имеет мужчин, а половина пар - женщин.

Те пары, у которых есть женщины, прекращают иметь детей

}

На каждом шаге вы получаете четное число мужчин и женщин, а число пар, имеющих детей, уменьшается вдвое (то есть у тех, у которых были женщины, детей на следующем этапе не будет)

Таким образом, в любой момент времени у вас есть равное количество мужчин и женщин, и с каждым шагом количество пар, имеющих детей, уменьшается вдвое. По мере создания большего числа пар повторяется одна и та же ситуация, и при прочих равных условиях население будет содержать одинаковое количество мужчин и женщин.

Пусть будет количеством мальчиков в семье. Как только у них появляется девушка, они останавливаются, поэтому$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

Если - это вероятность того, что ребенок является мальчиком, и если пол не зависит от детей, вероятность того, что в семье окажется k мальчиков, равна P ( X = k ) = p k ⋅ ( 1 - p ) , т.е. иметь k мальчиков, а затем иметь девушку. Ожидаемое число мальчиков в Е Х = ∞ Е к = 0 к р к ⋅ ( 1 - р ) $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ Отметив, что ∞ ∑ k = 0 kpk= ∞ ∑ k = 0 (k+1)pk+1,получаем ∞ ∑ k = 0 kpk- ∞ ∑ k = 0 $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ , где мы использоваличтоЕ ∞ к = 0 рк=1/(1-р)при0<р<1(смгеометрической прогрессии). $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ $\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

Если , то есть , что E X = 0,5 / 0,5 . То есть в средней семье 1 мальчик. Мы уже знаем , что все семьи имеют 1 девочка, так что соотношение будет в течение долгого времени , даже вне быть 1 / 1 = 1 .$p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

Случайная переменная известна как геометрическая случайная величина .$X$

Резюме

Простая модель, согласно которой все дети независимо рождаются с вероятностью 50% быть девочками, нереальна и, как оказалось, исключительна. Как только мы рассмотрим последствия различий в результатах среди населения, ответ таков: соотношение девочки и мальчика может быть любым значением, не превышающим 1: 1. (В действительности это, вероятно, все еще будет близко к 1: 1, но это вопрос для анализа данных, чтобы определить.)

Поскольку оба эти противоречивых ответа получены при допущении статистической независимости результатов родов, апелляция к независимости является недостаточным объяснением. Таким образом, представляется, что вариация (в шансах на рождение женщины) является ключевой идеей, стоящей за парадоксом.

Введение

Парадокс возникает, когда мы думаем, что у нас есть веские основания верить во что-то, но сталкиваемся с убедительным аргументом в обратном.

Удовлетворительное разрешение парадокса помогает нам понять, что было правильно и что могло быть неправильно в обоих аргументах. Как часто бывает в случае вероятности и статистики, оба аргумента действительно могут быть действительными: решение будет зависеть от различий между предположениями , которые сделаны неявно. Сравнение этих разных предположений может помочь нам определить, какие аспекты ситуации приводят к разным ответам. Я считаю, что определение этих аспектов - это то, что мы должны ценить больше всего.

Предположения

Как свидетельствуют все ответы размещены до сих пор, то естественно предположить , что женщины родов происходят независимо друг от друга и с постоянными вероятностями от . Хорошо известно, что ни одно из предположений на самом деле не соответствует действительности, но может показаться, что незначительные отклонения от этих предположений не должны сильно влиять на ответ. Покажи нам. Для этого рассмотрим следующую более общую и более реалистичную модель:$1/2$

1. В каждой семье вероятность женского рождения является константой р я , независимо от порядка рождения.$i$$p_i$

2. При отсутствии каких-либо правил остановки ожидаемое число рождений женщин в популяции должно быть близко к ожидаемому числу рождений мужчин.

3. Все результаты родов (статистически) независимы.

Это еще не полностью реалистичная модель человеческих родов, в которых может изменяться в зависимости от возраста родителей (особенно матери). Тем не менее, он достаточно реалистичен и гибок, чтобы обеспечить удовлетворительное разрешение парадокса, который будет применяться даже к более общим моделям.$p_i$

Анализ

Хотя интересно провести тщательный анализ этой модели, основные моменты становятся очевидными, даже если рассматривается конкретная, простая (но несколько экстремальная) версия. Предположим, что население имеет семей. В половине из них шанса женского рождения +2 / 3 , а в другой половине вероятности женского рождения +1 / 3 . Это явно удовлетворяет условию (2): ожидаемое число рождений женщин и мужчин одинаково.$2N$$2/3$$1/3$

Рассмотрим эти первые семей. Давайте рассуждать с точки зрения ожиданий, понимая, что фактические результаты будут случайными и поэтому будут немного отличаться от ожиданий. (Идея следующего анализа была изложена более кратко и просто в оригинальном ответе, который появляется в самом конце этого поста.)$N$

Пусть - ожидаемое число рождений женщин в популяции N с постоянной вероятностью рождения женщин p . Очевидно , что это пропорционально N и поэтому может быть записано F ( N , р ) = е ( р ) N . Аналогично, пусть m ( p ) N будет ожидаемым числом рождений мужчин.$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• Первые семей рождают девочку и останавливаются. Другие ( 1 - р ) N семей воспитывают мальчика и продолжают рожать детей. Это р N девочек и ( 1 - р ) N мальчиков до сих пор.$pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• Остальные семей находятся в том же положении, что и раньше:$(1-p)N$ предположение о независимости (3) подразумевает, что на то, что они испытывают в будущем, не влияет тот факт, что их первенец был сыном. Таким образом, в этих семьях будет на больше девочек и на m ( p ) [ ( 1 - p ) N ] больше мальчиков.$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

с решениями

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

Правило остановки благоприятствует мальчикам!

$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

разрешение

Если ваша интуиция заключается в том, что остановка у первой девочки должна дать больше мальчиков в популяции, тогда вы правы, как показывает этот пример. Чтобы быть точным, все, что вам нужно, это то, что вероятность рождения девочки варьируется (даже незначительно) среди семей.

«Официальный» ответ, что соотношение должно быть близко к 1: 1, требует нескольких нереалистичных допущений и чувствителен к ним: он предполагает, что не может быть различий между семьями, и все рождения должны быть независимыми.

Комментарии

Ключевая идея, подчеркнутая этим анализом, заключается в том, что различия в составе населения имеют важные последствия. Независимость рождения - хотя это упрощающее предположение, используемое для каждого анализа в этой теме - не разрешает парадокс, потому что (в зависимости от других предположений) оно согласуется как с официальным ответом, так и с его противоположностью.

$p_i$$p_i$$p_i$

Если мы заменим пол каким-либо другим генетическим выражением, то получим простое статистическое объяснение естественного отбора : правило, которое дифференциально ограничивает количество потомков в зависимости от их генетического состава, может систематически изменять пропорции этих генов в следующем поколении. Когда ген не связан с полом, даже небольшой эффект будет размножаться мультипликативно через последовательные поколения и может быстро стать значительно увеличенным.

---

Оригинальный ответ

У каждого ребенка есть порядок рождения: первенец, второй род и т. Д.

Принимая во внимание равные вероятности рождения мужчин и женщин и отсутствие корреляции между полами, Слабый закон больших чисел утверждает, что соотношение перворожденных женщин и мужчин будет примерно равно 1: 1 . По той же причине соотношение 1: 1 женщин и мужчин будет приблизительно равно 1: 1 и т. Д. Поскольку эти соотношения постоянно составляют 1: 1, общее соотношение также должно составлять 1: 1, независимо от того, какая относительная частота порядков рождения в популяции оказывается.

Рождение каждого ребенка является независимым событием с P = 0,5 для мальчика и P = 0,5 для девочки. Другие детали (такие как семейные решения) только отвлекают вас от этого факта. Ответ, таким образом, заключается в том, что соотношение составляет 1: 1 .

Чтобы пояснить это: представьте, что вместо того, чтобы иметь детей, вы подбрасываете честную монету (P (глав) = 0,5), пока не получите «головы». Допустим, семья А подбрасывает монету и получает последовательность [хвосты, хвосты, головы]. Затем семья B подбрасывает монету и получает хвосты. Теперь, какова вероятность того, что следующий будет головы? Все еще 0,5 , потому что это то, что означает независимость . Если вы сделаете это с 1000 семей (что означает, что появилось 1000 голов), ожидаемое общее количество хвостов будет 1000, потому что каждый бросок (событие) был полностью независимым.

Некоторые вещи не являются независимыми, например, последовательность внутри семьи: вероятность последовательности [головы, головы] равна 0, а не равна [хвостам, хвостам] (0,25). Но так как вопрос не задает об этом, это не имеет значения.

Представьте, что вы бросаете монету, пока не увидите голову. Сколько хвостов ты подбрасываешь?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

Ожидаемое количество хвостов легко вычисляется *, чтобы быть 1.

Количество головок всегда 1.

* если вам это не понятно, см. «план доказательства» здесь

Пары с ровно одной девушкой и без мальчиков являются наиболее распространенными

Причина, по которой все это работает, заключается в том, что вероятность одного сценария, в котором больше девочек, намного больше, чем сценарии, в которых больше мальчиков. И сценарии, в которых намного больше мальчиков, имеют очень низкую вероятность. Конкретный способ его работы проиллюстрирован ниже

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

Вы можете в значительной степени увидеть, к чему это приведет в данный момент, общее количество девочек и мальчиков в итоге составит одну.

Ожидаемые девушки от одной пары${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{Предельные решения от вольфрама}

Любое рождение, в какой бы семье он ни был, имеет 50:50 шанс быть мальчиком или девочкой

Все это имеет внутренний смысл, потому что (как бы ни старались пары) вы не можете контролировать вероятность того, что конкретное рождение будет мальчиком или девочкой. Неважно, родился ли ребенок от пары без детей или в семье из ста мальчиков; вероятность 50:50, поэтому, если у каждого отдельного рождения есть шанс 50:50, то вы всегда должны получать половину мальчиков и половину девочек. И не имеет значения, как вы перемешиваете рождение между семьями; Вы не собираетесь влиять на это.

Это работает для любого ¹ правила

Поскольку из-за вероятности 50:50 для любого рождения соотношение будет равно 1: 1 для любого (разумного ¹ ) правила, которое вы можете придумать. Например, аналогичное правило ниже также работает даже

Пары перестают иметь детей, когда у них появляется девушка или у них двое детей

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

В этом случае общее количество ожидаемых детей вычисляется легче

Ожидаемые девушки от одной пары${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

¹ Как я уже сказал, это работает для любого разумного правила, которое может существовать в реальном мире. Необоснованным правилом было бы правило, при котором ожидаемых детей на пару было бесконечно. Например, «родители перестают иметь детей только тогда, когда у них в два раза больше мальчиков, чем у девочек», мы можем использовать те же приемы, что и выше, чтобы показать, что это правило дает бесконечных детей:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

Затем мы можем найти количество родителей с конечным числом детей

Ожидаемое количество родителей с конечными детьми${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{Предельные решения от вольфрама}

Исходя из этого, мы можем установить, что 82% родителей будут иметь бесконечное количество детей; с точки зрения градостроительства это, вероятно, вызовет трудности и покажет, что это условие не может существовать в реальном мире.

Вы также можете использовать симуляцию:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

Составление плана помогло мне лучше понять, как соотношение рождаемости (предполагается, что оно составляет 1: 1) и соотношение численности детей будет равно 1: 1. В то время как в некоторых семьях было бы несколько мальчиков, но только одна девочка, из-за чего я сначала думал, что мальчиков будет больше, чем девочек, число этих семей не будет превышать 50% и будет уменьшаться вдвое с каждым дополнительным ребенком, в то время как количество семей, состоящих только из одной девочки, составило бы 50%. Таким образом, число мальчиков и девочек будет сбалансировано друг с другом. Смотрите итоги 175 внизу.

То, что вы получили, было самым простым и правильным ответом. Если вероятность того, что новорожденный ребенок является мальчиком, равна p, и дети неправильного пола не встречаются в результате несчастных случаев, то не имеет значения, принимают ли родители решение о рождении большего количества детей в зависимости от пола ребенка. Если число детей N, а N велико, можно ожидать около p * N мальчиков. Нет необходимости в более сложных расчетах.

Есть, конечно, другие вопросы, например, «какова вероятность того, что младший ребенок в семье с детьми - мальчик», или «какова вероятность того, что самый старший ребенок в семье с детьми - мальчик». (Один из них имеет простой правильный ответ, другой имеет простой неправильный ответ, и получить правильный ответ сложно).

Позволять

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

быть пробным пространством и пусть

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

$\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$

Как правило, ожидаемое значение для девочек равно 1. Таким образом, соотношение также равно 1.

Это вопрос с подвохом. Соотношение остается неизменным (1: 1). Правильный ответ заключается в том, что это не влияет на коэффициент рождаемости, но влияет на число детей на семью с ограничивающим фактором в среднем 2 рождения на семью.

Этот тип вопросов вы можете найти в логическом тесте. Ответ не о соотношении рождаемости. Это отвлечение.

Это не вопрос вероятности, а вопрос когнитивного мышления. Даже если вы ответили соотношением 1: 1, вы все равно не прошли тест.

Я показываю код, который я написал для симуляции Монте-Карло (семейства 500x1000) с использованием программного обеспечения MATLAB. Пожалуйста, внимательно изучите код, чтобы я не ошибся.

Результат генерируется и наносится на график ниже. Это показывает, что моделируемая вероятность рождения девочки очень хорошо согласуется с основной вероятностью естественного рождения независимо от правила остановки для диапазона естественной вероятности рождения.

Играя с кодом, легче понять один момент, который я раньше не делал - как указывают другие, правило остановки - это отвлечение. Правило остановки влияет только на количество семей с фиксированным населением или, с другой точки зрения, на число рождений детей с фиксированным количеством семей. Пол определяется исключительно броском костей, и, следовательно, соотношение или вероятность (которая не зависит от количества детей) будет зависеть исключительно от естественного отношения рождения мальчика к девочке.

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

$i^{th}$$X_i$$0.5$ .

$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$ - количество детей в стране).

$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

Независимость рождений не имеет значения для расчета ожидаемых значений.

---

По поводу ответа @ whuber, если есть различия в предельной вероятности в разных семьях, соотношение становится неравномерным по отношению к мальчикам из-за того, что в семьях с более высокой вероятностью мальчиков больше детей, чем в семьях с меньшей вероятностью, что приводит к усилению эффекта ожидаемое значение суммы для мальчиков.

Я также самостоятельно запрограммировал симуляцию в matlab, прежде чем посмотреть, что сделали другие. Строго говоря, это не MC, потому что я запускаю эксперимент только один раз. Но одного раза достаточно для получения результатов. Вот что дает мой симулятор. Я не отстаиваю вероятность того, что рождение будет примитивом р = 0,5. Я позволил вероятности рождения изменяться в диапазоне Pr (Boys = 1) = 0,25: 0,05: 0,75.

Мои результаты показывают, что, поскольку вероятность отклоняется от р = 0,5, соотношение полов отличается от 1: в ожидании соотношение полов - это просто отношение вероятности рождения мальчика к вероятности рождения девочки. То есть это геометрическая случайная переменная, которая была идентифицирована ранее @ månst. Это то, что я считаю, оригинальный плакат был интуитивным.

Мои результаты близко имитируют то, что сделал вышеупомянутый плакат с кодом Matlab, сопоставляя соотношения полов с вероятностью 0,45, 0,50 и 0,55, что мальчик родился. Я представляю свой, поскольку я использую немного другой подход, чтобы получить результаты с более быстрым кодом. Чтобы выполнить сравнение, я пропустил раздел кода vec = vec (randperm (s, N)), поскольку s не определен в их коде, и я не знаю первоначального намерения этой переменной (этот раздел кода также кажется излишним - как изначально заявлено).

Я публикую свой код

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

Следующий график ожидается с учетом строгого закона большого числа. Я воспроизвожу его, но важен второй график.

Здесь вероятность рождения любого пола ребенка, отличная от 0,5, изменит соотношение полов в общей популяции. Предполагая, что рождения независимы (но не выбор продолжать воспроизводить), в каждом раунде условного воспроизводства вероятность населения определяет общий состав результатов рождений мальчика и девочки. Таким образом, как уже упоминали другие, правило остановки в проблеме не имеет значения для исхода численности населения, как ответил автор, который определил это как геометрическое распределение.

Для полноты, на что влияет правило остановки, так это количество циклов воспроизводства в популяции. Поскольку я запускаю эксперимент только один раз, график немного неровный. Но интуиция есть: для данного размера популяции, поскольку вероятность рождения девочки увеличивается, мы видим, что семьям нужно меньше циклов размножения, чтобы получить желаемую девочку до того, как все население прекратит размножаться (очевидно, количество раундов будет зависеть от численность населения, поскольку это механически увеличивает вероятность того, что в семье будет, например, 49 мальчиков, прежде чем они получат свою первую девочку)

Сравнение моих рассчитанных соотношений полов:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

и из предыдущего постера с кодом Matlab:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

Это эквивалентные результаты.

Это зависит от количества семей.

$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

$N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

$\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$ .

$T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$ - гипергеометрическая функция.

${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$